Développement limité x^x

[invitee351071a]

Bonjour,

Avec les techniques pour établir un équivalent simple, je ne vois pas comment établir le D.L. en 0 de : x^x - (sin(x))^x...

Ni avec (1+x)^a, ni avec l'exponentielle...

Merci pour votre aide !

Bonne journée,

Latinus.
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[gg0]

Bonjour.

A priori, il n'existe que pour un ordre inférieur ou égal à 4 et est x^3/6, si j'en crois mon calculateur formel. D'ailleurs ni x^x, ni (sin(x))^x n'ont de vrai développement limité d'ordre supérieur à 0 (*)

En partant de x^x=exp(xln(x)) et du DL de l'exponentielle en 0 (x.ln(x) tend vers 0) on peut obtenir un développement avec des (xln(x)) qui commence par 1+x ln(x) + (x ln(x))²
On peut faire la même chose pour (sin(x))^x en utilisant en plus un DL de sin en 0.

Certains termes vont se simplifier dans la soustraction et il restera le x^3/6, mais ensuite on a un ln(x)x^4/6 qui n'est pas un monôme.

Cordialement.

(*) j'ai supposé que tu parles de la fonction x-->x^x-(sin(x))^x prolongée par continuité par 0 en 0.