Concours TPE - projeté orthogonal sur l'orthogonal ?

[lucva]

Bonjour !
J'ai un exo issus du concours des Travaux Publiques d'Etat dans lequel on a
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Et on demande de déterminer "Le projeté orthogonal de sur l'orthogonal de H" mais comment je suis censé faire ça ? je le projette par rapport à quoi ?? J'ai pensé qu'il fallait projeter sur le plan orthogonal à H, mais il n'y en a pas qu'un seul... Quelle est la différence entre "projeté orthogonal de X sur l'orthogonal de H" et "projeté orthogonal de X sur H" de la question suivante ??? comme les 2 questions sont liées par "en déduire", il y a forcément un lien entre les 2, mais je ne trouve rien ee semblable dans mon... Pourriez-vous me faire un rappel définition/méthodes s'il vous plait ??

Merci d'avance, bonne journée
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[Resartus]

Bonjour,

L'orthogonal de H est la droite* perpendiculaire au plan, et la projection orthogonale de X sur cette droite est un point* (qui, sauf cas particulier ne va pas appartenir au plan)

Ce serait bien de fournir l'énoncé exact....
Peut-être veut-on vous faire découvrir que X est la somme de ces deux projections?


*En termes d'EV, la droite est de dimension1 et le point est un vecteur.

[lucva]

Salut !
L'énoncé ? il me semblait que c'était interdit par le règlement... bon bah le voici :

[...]L'orthogonal de H est la droite* perpendiculaire au plan[...]

Oui, mais laquelle ? celle dont l'intersection avec le plan H est aussi l'origine du vecteur X ?

[...]la projection orthogonale de X sur cette droite est un point*[...]

juste pour être sûr... c'est bien par rapport ton annotation ??

Désolé, je pose beaucoup de questions sans doute stupides ^^ mais bon je préfère l'être en m'exerçant que en DS ou pire au concours
Merci

[Resartus]

Bonjour,
Je ne sais pas très bien comment on enseigne aujourd'hui la correspondance entre le langage des espaces vectoriels dans R^n et les notions géométriques. Comme tu parlais de plan, je supposais que c'était toujours au programme? Les sous espaces vectoriels contiennent toujours le vecteur nul, et donc les plans et droites correspondant à ces SEV vont passer par l'origine.

Mais comme l'énoncé ne parle pas de plan, il vaut peut-être mieux rester sur le langage des SEV...

L'orthogonal d'un SEV est l'ensemble des vecteurs dont le produit scalaire avec les vecteurs du SEV est nul, et c'est également un SEV.
Il y a un cas particulier où trouver cet orthogonal est très simple : dans R^n, l'orthogonal d'un SEV de dimension n-1 (hyperplan dans le langage géométrique) contient le vecteur dont les coordonnées sont les coefficients de l'équation : ici (1, -1, 1). Cet orthogonal est de dimension 1, et contient les vecteurs U (u, -u, u) (une droite...)

La projection orthogonale X0 de X sur cette droite va être le vecteur XO=(U.X)/|U|²).U (ce que vous avez* (auriez?) dû voir en cours)

Le "en déduire" à la question suivante veut simplement dire que, si on appelle X1 la projection de X sur H, X étant la somme des deux projections sur les SEV supplémentaires (ce qui doit être du cours, là aussi), on aura X1=X-X0



*dans le cas où u est un vecteur de base (norme 1), la formule est (u.X)u. C'est peut-être seulement celle-là qui est dans le cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

On se place dans un espace euclidien E de dimension finie.

Définition : Soit H un sev de E. Alors l'orthogonal de H est

Propriété 1 : est un sev de E.

Propriété 2 : ( et sont supplémentaires)

Propriété 2 :

Si tu démontres ces propriétés, l'exercice devient facile.

[lucva]

Euh... non, j'ai jamais vu ces formules, je les retapes en tex pour m'assurer de les avoirs bien lues :

comment puis-je démontrer cette égalité que tu utilises pour la question 2 ????

@Tryss2 c'est propriétés sont assez évidente à démontrer,je m'y attelle de suite

[lucva]

Salut salut !
voici ce que j'ai pu tirer de cet exercice :

Le projeté orthogonal de sur l'orthogonal de est le vecteur tel que et

Idem pour la question 2

Je me trompe ??