Al bachi

[al bachi]

Bonjout a vous svp je voudrais que vous m'aider a faire le développement limite de arctan(X/X+2) par la méthode d'intégration et par la formule de Taylor-young svp ces urgent aider moi merci d'avance
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[JPL]

Rappel de la charte du forum :

Les titres des messages doivent être explicites.

Autrement dit y mettre le sujet de la discussion.

[JB2017]

Bonjour
Vu l'urgence et le fait que je ne comprends pas le début de la question

développement limite de arctan(X/X+2) par la méthode d'intégration

Et puis le DL au voisinage de quel point on le fait.....?
Je ne vois pas qui peut t'aider.
Reprends ton calme. Commence par être rigoureux et ne fait pas des mathématiques dans l'urgence.

[FLBP]

Bonsoir,
J'imagine que tu parle de :

Donc la courbe connaît une discontinuité en -2.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[al bachi]

Bonjour et désolé. Ces que j'ai trop chercher mais je trouve des résultats différent. Par intégration: pour le développement limité au voisinage de 0 a l'ordre 3 de arctan(X/X+2) voici comment j'ai procédé, j'ai pris le (X/X+2) et j'ai fais son développement limité au voisinage de 0 a l'ordre 3 et je trouve x/2 - X^2/4 + X^3/8 + 0(X^3) que je pose égale a U
Ensuite j'ai utilisé la dérivé 1ere de arctan(u)= 1/1+U^2 mais j'ai posé d'abord que U= X/2 - X^2/4 + X^3/8 donc j'aurai 1/1+U^2 c'est-à-dire que j'ai appliqué la dérivé 1ere de Arctan et je fait développement limité de 1/1+U^2 au voisinage de 0 a l'ordre 2 pas ordre 3 et je trouve 1 - U^2 ensuite je fais intégration de ça et je trouve U - U^3/3 et en fin je remplace U par son expression c'est-à-dire X/2 - X^2/4 + X^3/8 et voici ce que je trouve X/2 - X^2/4 - X^3/6 dite moi ci ces juste je mes calcul

[gg0]

Bonjour.

Erreur sur le terme en x^3. Écris vraiment ton calcul, ce sera plus lisible. l'erreur peut provenir d'un développement limité trop court de l'arctan (Pourquoi un ordre 2 ?)

Cordialement.

[ansset]

bonjour, je ne trouve pas la même chose et j'aurai procédé autrement
on sait que la dérivée de arctan(x) est 1/(1+x^2)
donc si f(x)=x/(x+2)
la dérivée de arctan(f(x))=f'(x)/(1+f(x)^2)
f'(x)=2/(x+2)^2

donc au final la dérivée de ta fonction globale devient

dont la valeur en 0 vaut bien 1/2 et qu'il est facile de dériver ensuite pour la suite du DL
les coeffs successifs que je trouve sont
1/2 ; -1/2 ; -1/2

[ansset]

ps : je n'ai pas vérifié ton calcul, mais je pense moins dangereux d'attaquer directement la dérivée de la fonction.
quand ce n'est pas trop compliqué.
j'ai tendance à me méfier un peu des DL(s) de DL ( ils sont souvent "casse-gueule" ; avis personnel )

[gg0]

Ansset,

mon esclave numérique, prénommé Maple, ne trouve pas comme toi. mais est d'accord avec le début du résultat de Al Bachi.

Cordialement.

[ansset]

pour la dérivée de la fonction ou pour le reste ?

[ansset]

quand je parle des coeffs ; je parle des dérivées successives en 0 , sans tenir compte des n! bien sur.
donc "mon" DL est bien
x/2-x^2/4-x^3/12

[jacknicklaus]

les coeffs successifs que je trouve sont
1/2 ; -1/2 ; -1/2

en fait, ce sont les valeurs des dérivées n-ièmes en 0 qui sont 1/2, -1/2, + 1/2, ...
d'où les bons termes du DL en multipliant par les facteurs respectifs x, (x^2)/2, (x^3)/6 ...


[edit] croisement avec le message précedent.. mais je trouve un + au 3ème terme.

[ansset]

oui, c'est ce que j'ai précisé après ( le terme "coeff" était mal venu )
et désolé pour l'erreur de signe de la dernière dérivée ( j'avais omis le signe de la seconde dans mon petit calcul )
merci pour la correction !

[al bachi]

Donc vous êtres bien d'accord avec mon résultat X/2 - X^2/4 - X^3/6

[ansset]

Donc vous êtres bien d'accord avec mon résultat X/2 - X^2/4 - X^3/6

non,
après la correction utile sur le signe de la dérivée 3ème de ta fonction, on a
f(0)=0
f'(0)=1/2
f"(0)=-1/2
f'"(0)=1/2 d'où, en tenant compte des n!

soit


quand à l'erreur que tu as pu faire avec ta méthode, gg0 l'a peut être vu , mais je ne l'ai pas cherché .

[al bachi]

Je viens de reprendre mon dernier calcul et j'ai trouver X/2 - X^2/4 + X^3/12 + 0( X^3) je suis sur du résultats cette fois ci

[ansset]

super,
j'ai préféré une autre direction, mais si tu retombes sur les même pattes , c'est tout bon.

[al bachi]

Maintenant explique moi avec la méthode de Taylor-young car je n'arrive pas a l'appliquer car quand je prend la dérivé 1ere je trouve 1 et la dérivé 2eme je trouve 0 et dérivé 3 je trouve -2/3 mais je sais que. Ce n'est pas juste donc met moi sur la voir

[ansset]

le point de départ consiste à trouver la dérivée de arctan(x/(x+2))
soit la la dérivée d une fonction f(g(x)) avec
f(x)=arctan(x) dont la dérivée est 1/(1+x²)
g(x)=x/(x+2)
la dérivée de f(g(x)) vaut g'(x)f'(g(x))
c'est le calcul que j'ai fait dans un message plus haut.
le bol ( si on peut dire ainsi ) c'est que cette dérivée est simple au final et vaut simplement
1/(x²+2x+2)

[ansset]

ensuite on continue à dériver ( et sans faire de faute de signe comme je l'ai fait pour la troisième )

[al bachi]

Donc ces cette dérivé
g'(x)f'(g(x)) que je vais dérivé 3 fois ?

[al bachi]

Donc tu peut donner la fonction de f°g pour que je démarre ma dérivé

[ansset]

g'(x)f'(g(x)) est déjà la première dérivée.
qui vaut donc 1/2 pour x=0
ensuite j'ai juste dériver deux fois ( pas trois ) , sinon on serait en x^4

Donc tu peut donner la fonction de f°g pour que je démarre ma dérivé

que veux tu dire ?
ta fonction est bien une fonction composée.
arctan( (x/(x+2)) peut s'écrire arctan(g(x)) avec g(x)=x/(x+2)
et arctan , ici est aussi une fonction.
donc on a bien une fonction de fonction
savoir que ce type de dérivée vaut
g'(x)*f'(g(x)) est plus qu'utile.

[al bachi]

D'accord je vais calculé la dérivé pour voir et je te faire signe

[al bachi]

Maintenant peut tu me donner une dernière méthode a part Taylor-young et méthode par intégration c'est-à-dire dire la méthode par laquelle je suis passer par ce que il mon demander de faire par 3 méthodes différentes merci de me répondre

[ansset]

donc tu en as déjà deux , et en fait on t'en demande une troisième ?
il est un peu sado-maso ton prof.?
je n'ai pas d'idée à l'instant.
je reviens dès que possible ....
cordialement.

[al bachi]

Je te parle que notre docteur nous rend la vie un peu compliqué a l'Université même. Donc je suis a l'écoute si tu trouve

[al bachi]

Bon j'ai trouver j'ai vu dans mes recherche que
Developpement limité de
ARCTAN(X) = X - X^3/3 + X^5/5 - ....
Donc quand j'applique je trouve le meme résultats c'est-à-dire que je fais le développement de X/X+2 au voisinage de 0 a l'ordre 3 qui est X/2 - X^2/4 - X^3/8 que je vais posé qui est égale a U donc j'aurai arctan(U) et j'applique la formule de arctanx que je mis en haut là et trouve le meme résultats que pour les deux autre méthode. Donc donne moi une confirmation pour Mme dire sue j'ai raison

[al bachi]

Ici je n'est pas utilisée de dérivé 1ere ni 2e net ni 3e donc je sais que j'ai trouver donc j'attends ton Ok

[ansset]

tu as développé ton X/2 - X^2/4 - X^3/8 en fct de x/(x+2) ?
parce que le -x^3/8 ne correspond pas au résultat, ou alors, je n'ai pas compris.