Bonjour
En mécanique quantique on parle de produit tensoriel pour deux états indépendant dits factorisables en pratique qu'est-ce que le produit tensoriel ? D'un autre côté en relativité générale on a des produits de tenseurs mais il semble que ce soit un produit matriciel ordinaire j'aimerais quelques éclaircissements.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Pas le cas.Envoyé par viiksu
Les notions de produits tensoriels (d'espaces, de vecteurs) sont essentiellement les mêmes dans les deux cas, c'est de l'algèbre (multi)linéaire.
Il y a des entrées d'encyclopédie, des cours, etc. sur le sujet. Vu le volume d'éclaircissements potentiels, ce sera toujours mieux que des messages de forum, plus adaptés pour des questions ponctuelles, par exemple pour aider à comprendre des points particuliers dans des textes longs trouvés ailleurs.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Un point peut-être utile, car je ne l'ai pas vu souvent explicité dans les textes: les notations sont différentes selon les applications et les auteurs, ce qui ne rend pas aisé au début de réaliser qu'il s'agit d'une approche commune.
Par exemple la notation de bra et ket n'est pas utilisée en RG, remplacée par la position des indices (en bas pour un bra, en haut pour un ket). Et la notion commune est celle de vecteur vs. covecteur (forme linéaire), appelés bra et ket dans un cas, ou référés indirectement par des expressions genre coordonnées covariantes vs. contravariantes.
C'est assez perturbant pour qui cherche à voir l'unité mathématique derrière les notations et explications!
Sinon, le mot clé est «multi-linéarité». En PhyQ, cela vient du principe de superposition (les combinaisons linéaires d'états sont des états), alors qu'en RG cela vient du traitement essentiellement différentiel, c'est à dire par linéarisation, amenant des relations linéaires entre infinitésimaux.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Une discussion sur le produit tensoriel qui pourrait t'intéresser : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4048899.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci,
Mais ce que j'aurais aimé savoir dans un premier temps c'est ce qu'en pratique donne un produit tensoriel de deux tenseurs qui sont des matrices en terme de matrice résultante?
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Salut,
Un petit détail.
Les tenseurs ne sont pas des matrices (d'ailleurs un tenseur d'ordre trois, même en notation composantes, ce n'est pas une matrice).
Mais on peut travailler en composantes en choisissant une base. Et les composantes peuvent (à une ou deux composantes) se mettre sous forme matricielle.
Tu peux comparer aux vecteurs. Là aussi on peut travailler en composantes en choisissant une base.
Ainsi, un vecteur A dans une base donnée, a pour composantes Ai.
Et le produit scalaire avec le vecteur B s'écrira(ou Ai*Bi si tu as une métrique euclidienne et diagonalisée, un produit scalaire euclidien) avec les composantes covariantes et contravariantes archi classiques et la sommation sous-entendue sur les indices muets, comme d'hab.
Les tenseurs c'est en quelque sorte la généralisation à plusieurs composantes (c'est pas mal de voir aussi ça à travers les transformations linéaires mais on peut s'en passer).
Le produit tensoriel des deux vecteurs sera par exemple Cij = Ai*Bj, pour les composantes covariantes.
A partir de là tu peux construire des tenseurs plus compliqués, y compris des tenseurs qui ne sont pas produits de vecteurs, changer de base, lever abaisser les indices, passer à trois composantes, quatre, etc....
Tout ça en généralisant (facilement) ce que tu connais sur les vecteurs.
Bon, il y a des présentations plus profondes et plus puissantes. Voir le lien ci-dessus ou internet (il y a des tonnes de documents là-dessus, en cherchant un peu tu en trouveras de très bien fait)
Mais ça devrait déjà te donner une idée.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Une matrice est une disposition des composantes d'un tenseur, ce n'est pas un tenseur.
Si on aborde le sujet par les «matrices» (pas nécessairement une bonne idée), l'ordre est la première chose à comprendre. Une matrice carrée (e.g., 4x4, 16 composantes) correspond à un tenseur d'ordre 2, une matrice «cubique» (4x4x4, 64 composantes) correspond à un tenseur d'ordre 3, etc. L'ordre 1 inclut les vecteurs (e.g., 4 composantes), et l'ordre 0 correspond aux scalaires (une composante). Les 4 dans les exemples viennent de la dimension de l'espace vectoriel.
En termes de composantes, un tenseur produit de 2 vecteurs u_i et v_j est la «matrice» dont les composantes sont u_i v_j (les n² produits d'une composante parmi les n de u par une parmi les n de v). On remarque alors que seule une petite partie des tenseurs d'ordre 2 s'écrivent comme un produit tensoriel de deux vecteurs. Les autres peuvent s'écrire comme des combinaisons linéaires de ces derniers (notion essentielle en PhyQ).
Le produit tensoriel d'un tenseur n x n (ordre 2) par un vecteur donnera un tenseur n x n x n (ordre 3) : l'ordre d'un produit tensoriel de tenseurs est la somme des ordres des multiplicandes.
Bref, en termes de matrices, les tenseurs généralisent les matrices carrées aux matrices de tout ordre, cubique, tesseract, etc.
Par exemple le tenseur de courbure en RG est représentable par une matrice tesseract, 4x4x4x4, 256 composantes...
----
Parler de matrices revient à traiter les tenseurs en composantes. C'est ce qui est fait dans les présentations de la RG, mais pas en PhyQ (il y a bien eu une mécanique de matrices au début, mais cela a été montré équivalent aux autre formalismes, et non retenu). La raison principale est que la dimension de l'espace vectoriel des vecteurs d'état d'un système est quelconque et peut être infinie (et elle dépend du système modélisé). La PhyQ (ou les maths...) présentent les tenseurs «en eux-mêmes», pas en composantes et donc indépendamment du choix d'une base.
Dernière modification par Amanuensis ; 15/09/2017 à 16h15.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Encore merci
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Un caveat: dans l'approche avec les matrices, le produit tensoriel n'est pas du tout le produit matriciel. Il y a bien une place pour le produit matriciel, mais cela demande une structuration supplémentaire, qui complique la notion élémentaire de produit tensoriel d'espaces vectoriels, et donc à aborder une fois que le notion élémentaire est maîtrisée. (Cette structuration supplémentaire, distinguant bra et ket, ou vecteurs et covecteurs, pareil, est nécessaire tant en RG qu'en PhyQ).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci Am pour cette contribution qui est très claire.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
