Problème avec la dérivé
Bonne journée à toutes et à tous,
Une petite équation différentielle de deux variables x et y m'a beaucoup dérangé la tete; dx=(ax+by)dy sachant que a et b sont des ctes qui ne dépendent ni de x ni de y, comment y faire l'intégration sur les deux cotés de l'équation là dessus et par suite trouver le x en fonction de y?
Si vous avez des idées, méthodes, concernant ceci je serais ravis de les prendre et merci d'avance.
il faut formaliser cela en equa diff, ici si on cherche x(y) ( ps en général on l'exprime de manière inverse mais bon )
x'(y)= (ax(y)+by) soit si f est la fct x=f(y)
f'(y)-af(y)=by.
à résoudre en 2 temps.
Bah, mais je pense qu'il nous faudra écrire le terme dy ou pultot y' et alors l'équation diff devient plus compliquée, comme ça: f'(y)-a f(y)y'=b y y'
c'est le y' qui pose problème, n'est-ce pas?
tu peux l'écrire en x=f(y) ou y=f(x) , pas les deux en même temps.
faut faire un choix.
Bonjour Discipline.
En écrivant
Ou encore
ou
tu te retrouves devant une classique équation différentielle linéaire du premier ordre qui s'intègre rapidement. Et tu auras x en fonction de y.
(en échangeant les rôles de x et y on retrouve bien y'(x)-ay(x)=bx)
Cordialement.
NB : je ne fait que reprendre la proposition de Ansset avec d'autres notations.
Re : Problème avec la dérivé
Bonne soirée à tous,
Quelle démarche considérez vous meilleure pour trouver la fonction f tel que:
f'(x)[(x²+f²(x))²+(f²(x)-x²)a]=2a f(x) avec a constante qui ne dépends pas de x
J'ai décidé de poser une application g pour ce débarrasser du carré; ce n'est qu'une idée primaire que je n'ai pas encore appliquée.De toute manière, cette application f est forcément un polynôme? ( j'ai remarqué ça en interprétant l'équation déjà cité)
Merci d'avance pour votre aide.
Non, ça n'est pas nécessairement un polynôme, d'ailleurs si f est un polynôme de degré n, alors à droite on a un polynôme de degré n, et à gauche un polynôme de degré 5n-1. Ainsi, le seul polynôme qui peut être solution est le polynôme nul.
Et a vu de nez, ton problème ne me parait pas simple à résoudre
bjr discipline,
ton equa diff semble assez infernale .
es tu sure de son expression exacte ? et d'où sort elle ?
d'un exercice de cours direct ? ou du prolongement d'un travail initial personnel sur une autre équation ?
cordialement.
Bonjour,
Une première étape est de multiplier l'équation par f(x) puis de poser F(x)=f²(x)... (soit F'(x)=2*f'(x)*f(x)
Mais cela reste difficile même après cela...
Dernière modification par Resartus ; 19/09/2017 à 18h47.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
c'était ce que j'avais commencer à faire en espérant un truc qui se simplifie après, en vain !
En vous souhaitant une très bonne journée tous, merci pour vos réponses.
L'équation était f'(x)[(x²+f²(x))²+(f²(x)-x²)a]=2a f(x) x (il manque un petit x)
ce n'est pas donné par l'énoncé de l'exercice, ce n'est que ce que j'ai trouvé par le passage des coordonnées polaires vers les cartisiennes. Pourquoi ai-je choisi cette méthode, c'est pour faciliter la tache car c'est également difficile avec les polaires -il faut trouver l'intégral de(1+x²)/(1-x²)- mais pas sure car ça donne 1/cos(x) en posant une variable par exemple et c'est trop difficile. J'aimerais y avoir d'autre méthodes autre que celles qui se trouvent dans le repère cartisien puisque ça ne facilite point les choses comme je l'ai cru autrefois.
bonjour,
je ne sais comment tu arrives à cette équation complexe, mais il y a plus simple pour passer de coord cartésiennes en polaires. ( ou l'inverse )
peux tu préciser exactement ce que tu veux faire.?
Cdt
je vise l'intégral de (1+x²)/(1-x²) sur intervalle [1;x]. En développant, j'ai trouvé une autre expression: intégral de (cos²-2)/cos en posant x=tan(t) mais pour moi ça ne change rien puisque cette nouvelle expression n'est plus moins difficile comme il le semble n'est-ce pas?
Laissez tomber la première équation que j'ai citée au départ car ça ne marche pas avec les coords cartisiennes et ce que je viens de faire c'est de la rendre en polaires et d'intégrer l'un de ses cotés qui est (1+x²)/(1-x²)-concernant l'autre coté il faut intégrer cos/sin qui donne ln(sin)- Alors pour tout faire il ne me faut que trouver l'intégral que j'ai précisé au début de mon post là et merci pour votre aide.
OK
ta fonction ( que j'écrit avec la variable t ) peut s'écrire
f(t)=(1+t²)/(1-t²)=(t²-1+2)/(1-t²)=-1+2/(1-t²)
la seule partie plus diff à intégrer est
il y a diff manière de faire ,
regarde par exemple ce que donne la dérivée de (1+x)/(1-x)
Bonjour,
J'ai l'impression que vous vous cassez la tête. A priori, j'observerais que (1-x²) = (1-x)(1+x). Cela permet de scinder l'intégrant en deux morceaux. Le premier morceau est alors facile à primitiver (cela doit donner quelque chose comme un ln), tandis que pour primitiver l'autre morceau un petit changement de variable avec, éventuellement, une intégrale par morceau devrait convenir.
oui, c'est encore plus simple.
Bonjour,
L'intégrale
est bien définie pour n'importe quel
résultat que je suggere de retrouver par decomposition en elements simples, tout comme dit plus haut, et en prennant soin de distinguer les différents cas possibles pour les valeurs de
Euh, je n'ai pas pensé que ça soit si facile qu'on le fasse avec la formule 1/(x-1) - 1/(x+1)
Mon problème est résolu, je vous remercie infiniment. Il me faut voir les choses d'un point de vue plus sympa que ça.
Le résultat de l'intégration sera: x-ln((x+1)/(x-1)) sachant que 1<x
