Module projectif

**Anonyme007** · 22/09/2017, 13h23

Bonjour à tous,

Définition 1) :

Un module projectif est un module $\text{[math]}$ sur un anneau $\text{[math]}$ tel que pour tout morphisme surjectif $\text{[math]}$ entre deux $\text{[math]}$ -modules : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et pour tout morphisme : $\text{[math]}$ , il existe un morphisme : $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .

Définition 2) :

Un module projectif est un module $\text{[math]}$ sur un anneau $\text{[math]}$ tel qu'il existe un autre module $\text{[math]}$ de sorte que : $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - module libre.

Question :

Pouvez vous svp m'expliquer pourquoi les deux définitions ci-dessus sont équivalentes ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 22/09/2017, 15h16

C'est très facile, qu'as tu essayé ?

**Anonyme007** · 22/09/2017, 16h36

Bonjour,

Oui, je sais que c'est très facile pour toi, mais pour moi, c'est loin d’être le cas.

Pour $\text{[math]}$ :
On suppose que $\text{[math]}$ est projectif de sorte qu'il existe un $\text{[math]}$ - module $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - module libre, et soit $\text{[math]}$ une base de $\text{[math]}$ . Alors, il faut construire $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ . Puisqu'on a une base explicite pour $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ , on construit d'abord, $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ . Puisque : $\text{[math]}$ est arbitraire , et $\text{[math]}$ est surjectif, il suffit de prendre pour : $\text{[math]}$ celui tel que : $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . Par conséquent : $\text{[math]}$ est définie par : $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . D'où : $\text{[math]}$ . Dans ce cas là, il suffit de prendre pour : $\text{[math]}$ , le morphisme défini par : $\text{[math]}$ , non ?.

Pour ce qui concerne le sens : $\text{[math]}$ , je ne sais pas du tout.

**AncMath** · 22/09/2017, 17h08

Indication : Tout module est quotient d'un module libre.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 22/09/2017, 17h35

Oui, mais ça ne me mène pas à grand-chose votre indication.

**AncMath** · 22/09/2017, 17h55

Il s'est écoulé 27 minutes entre mon indication et ta réponse; peut être peux tu chercher un peu plus ?

**Anonyme007** · 22/09/2017, 20h16

Voici ce que je trouve dans un document sur le net :

Soit $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ - module tel que pour tout morphisme surjectif $\text{[math]}$ entre deux $\text{[math]}$ - modules $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et pour tout morphisme : $\text{[math]}$ , il existe un morphisme $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .
En particulier, pour $\text{[math]}$ , et pour tout morphisme surjectif : $\text{[math]}$ , il existe une section $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .
Par suite, $\text{[math]}$ est une suite exacte scindée.
En particulier, si on prend l’épimorphisme canonique : $\text{[math]}$ , alors, par ce qui précède : $\text{[math]}$ .
Par conséquent, $\text{[math]}$ ( CQFD ).

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