Bonjour à tous,
Je cherche à comprendre la démonstration du théorème suivant :
Théorème :
L'application :est un isomorphisme du sous groupe des homographies de
laissant globalement invariant l'hyperplan à l'infini :
sur le groupe affine de
.
Démonstration proposé par mon cours :
Une matricede
représente une homographie de
laissant globalement invariant l’hyperplan :
d’équation :
si et seulement si la dernière ligne de la matrice
est de la forme
, avec :
. La matrice :
représente la même homographie et a pour dernière ligne
.
A partir de cette remarque, on voit facilement que le morphisme canonique :induit un isomorphisme entre le sous groupe de
des matrices de la forme :
où :
sur le sous groupe des homographies laissant globalement invariant
.
Pour conclure, on remarque que :avec :
et
et que le groupe affine de
est bien le groupe des transformations :
, avec
.
Questions :
Ma question est de savoir pourquoi : Une matricede
représente une homographie de
laissant globalement invariant l’hyperplan :
d’équation :
si et seulement si la dernière ligne de la matrice
est de la forme
, avec :
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