Groupe projectif

invitecbade190 · 09/12/2015, 12h40

Bonjour à tous,

Je cherche à comprendre la démonstration du théorème suivant :

Théorème :
L'application : $\text{[math]}$ est un isomorphisme du sous groupe des homographies de $\text{[math]}$ laissant globalement invariant l'hyperplan à l'infini : $\text{[math]}$ sur le groupe affine de $\text{[math]}$ .

Démonstration proposé par mon cours :
Une matrice $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ représente une homographie de $\text{[math]}$ laissant globalement invariant l’hyperplan : $\text{[math]}$ d’équation : $\text{[math]}$ si et seulement si la dernière ligne de la matrice $\text{[math]}$ est de la forme $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ . La matrice : $\text{[math]}$ représente la même homographie et a pour dernière ligne $\text{[math]}$ .
A partir de cette remarque, on voit facilement que le morphisme canonique : $\text{[math]}$ induit un isomorphisme entre le sous groupe de $\text{[math]}$ des matrices de la forme : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ sur le sous groupe des homographies laissant globalement invariant $\text{[math]}$ .
Pour conclure, on remarque que : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et que le groupe affine de $\text{[math]}$ est bien le groupe des transformations : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .

Questions :
Ma question est de savoir pourquoi : Une matrice $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ représente une homographie de $\text{[math]}$ laissant globalement invariant l’hyperplan : $\text{[math]}$ d’équation : $\text{[math]}$ si et seulement si la dernière ligne de la matrice $\text{[math]}$ est de la forme $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$

invite9dc7b526 · 09/12/2015, 14h54

Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de la base canonique dans cette même base. La première colonne par exemple est l'image du vecteur (1,0,...,0). Comme on veut que cette image soit dans l'hyperplan $\text{[math]}$ il faut bien que la dernière coordonnée soit nulle. Il en est de même des autres zéros de la dernière ligne de la matrice. Quant au dernier élément $\text{[math]}$ il faut qu'il soit non nul parce qu'une homographie est une bijection (si mes souvenirs sont bons).

invitecbade190 · 09/12/2015, 15h38

Merci @minusha ... C'est claire ce que tu as dit.

Cordialement.

invitecbade190 · 11/12/2015, 20h16

Salut à tous,

Soit : $\text{[math]}$ un scindage d'un espace vectoriel de dimension finie $\text{[math]}$ en deux sous espaces vectoriels de dimension finie $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et soit $\text{[math]}$ l'application linéaire : projection sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ .
Pourquoi l'homographie $\text{[math]}$ associée à : $\text{[math]}$ ( projection sur $\text{[math]}$ çi dessus ) se met sous la forme : $\text{[math]}$ ?. Peux être qu'il s'agit d'une question simple, mais, mes neurones semblent être figés ces temps çi.

Merci d'avance pour votre éclairage.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 11/12/2015, 21h17

Peux être que j'ai mal interprété les affirmations de mon cours :

J'ai l'impression que : $\text{[math]}$ est égale à : $\text{[math]}$ et non à $\text{[math]}$ ... Mon cours affirme que :
$\text{[math]}$ la projection sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ induit par passage au quotient ( qui à mon sens, signifie : appliquer le foncteur projectivisation $\text{[math]}$ ) , une application : $\text{[math]}$ appelé projection sur $\text{[math]}$ de centre $\text{[math]}$ . D'où, ma question, est ce que l'homographie ou la projectivisation de la projection : $\text{[math]}$ correspond à : $\text{[math]}$ ou bien : $\text{[math]}$ ?. Pourquoi ? Quelle est la différence ?.

Merci d'avance.

Groupe projectif

Groupe projectif

Re : Groupe projectif

Re : Groupe projectif

Re : Groupe projectif

Re : Groupe projectif

Discussions similaires

Espace projectif

Espace projectif

Module projectif

Topologie: Groupe Fondamental de l'espace projectif RP3

Espace projectif