Groupe projectif

[invite52487760]

Bonjour à tous,

Je cherche à comprendre la démonstration du théorème suivant :

Théorème :
L'application : est un isomorphisme du sous groupe des homographies de laissant globalement invariant l'hyperplan à l'infini : sur le groupe affine de .

Démonstration proposé par mon cours :
Une matrice de représente une homographie de laissant globalement invariant l’hyperplan : d’équation : si et seulement si la dernière ligne de la matrice est de la forme , avec : . La matrice : représente la même homographie et a pour dernière ligne .
A partir de cette remarque, on voit facilement que le morphisme canonique : induit un isomorphisme entre le sous groupe de des matrices de la forme : où : sur le sous groupe des homographies laissant globalement invariant .
Pour conclure, on remarque que : avec : et et que le groupe affine de est bien le groupe des transformations : , avec .

Questions :
Ma question est de savoir pourquoi : Une matrice de représente une homographie de laissant globalement invariant l’hyperplan : d’équation : si et seulement si la dernière ligne de la matrice est de la forme , avec :
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[minushabens]

Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de la base canonique dans cette même base. La première colonne par exemple est l'image du vecteur (1,0,...,0). Comme on veut que cette image soit dans l'hyperplan il faut bien que la dernière coordonnée soit nulle. Il en est de même des autres zéros de la dernière ligne de la matrice. Quant au dernier élément il faut qu'il soit non nul parce qu'une homographie est une bijection (si mes souvenirs sont bons).

[invite52487760]

Merci @minusha ... C'est claire ce que tu as dit.
Cordialement.

[invite52487760]

Salut à tous,

Soit : un scindage d'un espace vectoriel de dimension finie en deux sous espaces vectoriels de dimension finie et , et soit l'application linéaire : projection sur parallèlement à .
Pourquoi l'homographie associée à : ( projection sur çi dessus ) se met sous la forme : ?. Peux être qu'il s'agit d'une question simple, mais, mes neurones semblent être figés ces temps çi.

Merci d'avance pour votre éclairage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Peux être que j'ai mal interprété les affirmations de mon cours :

J'ai l'impression que : est égale à : et non à ... Mon cours affirme que :
la projection sur parallèlement à induit par passage au quotient ( qui à mon sens, signifie : appliquer le foncteur projectivisation ) , une application : appelé projection sur de centre . D'où, ma question, est ce que l'homographie ou la projectivisation de la projection : correspond à : ou bien : ?. Pourquoi ? Quelle est la différence ?.

Merci d'avance.