Arithmétique

[Cocoa_lapin]

Bonjour. Pourriez-vous m'aider avec mon devoir? Merci beaucoup!

Soit f : R[X] → C l’application définie par :
∀ P ∈ R[X], f(P) = P(i),

où R[X] désigne l’ensemble des polynômes à coefficients réels.

1). Montrer que R[X] est un anneau, et f un morphisme d’anneau.
2). Déterminer le noyau de f.
3). Soit I le noyau de f. Montrer que le quotient R[X]/I est un corps.
4). Soit (X^2 − 1) l’idéal principal de R[X] engendré par X2 − 1. Montrer que R[X]/(X^2 − 1) n’est pas un corps.
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[invite52487760]

Salut :

Je t'aide pour la question :
n'est pas irréductible dans , donc, il faut le décomposer en produit d’éléments irréductibles dans , on trouve : .
Donc, Applique le lemme chinois pour obtenir un produit cartésien de copies de qui n'est, en toute vraisemblance, pas un corps. C'est plutôt un - espace vectoriel de dimension .

Cordialement.

[gg0]

Effectivement,

tu n'as pas besoin d'aide pour les premières questions, seulement d'apprendre le cours et de t'y mettre.

Bon travail !

[leon1789]

Applique le lemme chinois pour obtenir un produit cartésien de copies de qui n'est, en toute vraisemblance, pas un corps.

C'est bien trop compliqué : il suffit de dire que (x-1) et (x+1) ne sont pas nuls modulo (x²-1), et que leur produit (x-1).(x+1) est nul modulo (x²-1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Oui, ce sont des diviseurs de zeros, tu as raison. Bravo.