Comment trouve t-on le Groupe fondamental de l'espace projectif reel RP3?
Je sais que RP3 est defini comme etant l'ensemble des lignes dans R4 qui contiennent l'origine.
J'ai lu quelque part que le Groupe fondamental de RP3 est l'espace Z2. Est-ce que c'est vrai?
Si oui, comment le prouver?
Salut,
c'est assez facile de voir à partir de ta définition que RP3 peut etre vu comme la sphere S^3 dans laquelle tu identifies 2 points opposés. c'est plus facile a visualiser pour RP2 (l'idée est la meme en général), un element de cet espace est une droite vectorielle dans R^3, cad une classe d'equivalence de vecteurs ou deux vecteurs sont equivalents s'ils ont meme direction et des normes eventuellement différentes.. Donc tu peux toujours choisir un representant de longueur 1 cad un element de S^4, et si un point convient son antipode aussi.
Partant de la, la transformation x -> -x te donne une action de Z/2Z sur R^4, et sur S^4, et d'apres ce qui precede RP3=S^4/(Z/2Z).
La projection S^4 --> S^4/(Z/2Z) est un revetement. Si ma memoire est bonne ca induit un morphisme de groupe surjectifdont le noyau est
C'est de l'a peu pres mais j'espere que ca t'aide
