Groupe fondamental

[taladris]

Bonjour à tous!

Je cherche désespérement depuis tout à l'heure à résoudre le problème suivant: trouver trois espaces topologiques dont le groupe fondamental est Z mais non homéomorphes.

J'ai pensé au cercle et au cylindre dont le groupe fondamental est Z et qui ne sont pas homéomorphes (le cercle est compact contrairement au cylindre). Mais impossible de trouver un troisième exemple. J'ai pensé à mais il est homéomorphe au cylindre.
Autre idée: qui a trivialement Z comme groupe fondamental et qui n'est pas non plus homéomorphe au cercle. Mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas homéomorphe au cylindre.

Une piste? Merci d'avance
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[invité576543]

Mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas homéomorphe au cylindre.

Pas trop sur de moi, mais comme S1xR² est 3D il peut contenir un lacet noué, quelque chose qui n'existe pas sur le cylindre.

Ou encore, il existe un lacet sur le cylindre tel que le cylindre moins ce lacet n'est pas connexe. Ca semble difficile pour S1xR², non?

Cordialement,

[taladris]

Merci pour ta réponse, c'est sur cette idée que je m'étais lancé mais sans résultat.

Ou encore, il existe un lacet sur le cylindre tel que le cylindre moins ce lacet n'est pas connexe. Ca semble difficile pour S1xR², non?
Cordialement,

Intuitivement, ça me parait évident mais je n'arrive pas à le montrer formellement. S1xR² privé d'une courbe fermée me semble connexe par arcs, mais je n'arrive pas à expliciter le chemin joignant deux points. A moins qu'il y ait une méthode moins directe pour montrer cette connexité par arcs mais ce soir je cale.

[invité576543]

Intuitivement, ça me parait évident mais je n'arrive pas à le montrer formellement. S1xR² privé d'une courbe fermée me semble connexe par arcs, mais je n'arrive pas à expliciter le chemin joignant deux points. A moins qu'il y ait une méthode moins directe pour montrer cette connexité par arcs mais ce soir je cale.

Une idée pour ce qu'elle vaut... Il me semble que pour tout lacet on doit trouver un sous-ensemble de S1xR2 contenant ce lacet et homéomorphe à R³. Or R³ n'est pas déconnectable par la suppression d'un lacet.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

sinon tu as le ruban de Möbius.

[taladris]

Une idée pour ce qu'elle vaut... Il me semble que pour tout lacet on doit trouver un sous-ensemble de S1xR2 contenant ce lacet et homéomorphe à R³. Or R³ n'est pas déconnectable par la suppression d'un lacet.

Cordialement,

Bonne idée, cela simplifie ma recherche. Par contre, montrer que R³ privé d'un lacet est connexe par arcs, intuitivement, ça me parait évident, mais le montrer formellement, je ne vois pas.

Dans le même genre d'idée: comment montrer que Rⁿ privé de l'origine est simplement connexe pour n>=3? Là encore, intuitivement, j'imagine qu'une courbe fermée "entortillée" autour de l'origine peut être "détortillée" pour être mise dans un hyperplan ne contenant pas l'origine, mais de là à l'écrire rigoureusement, il y a un pas que je ne sais franchir.

sinon tu as le ruban de Möbius.

Je vais essayer ça.

Merci à tous les deux.

[invite4ef352d8]

R^3 privé d'un lacet peut ne pas etre conexe par arc : en effet, il existe des application continu surjective de [0,1] dans S² (la sphère de dimension 2) qui vont donc découper R^3 en deux composantes conexe....

montrer que S1*R^2 n'est pas isomorphe a S1*R est plus moins la meme chose que de montrer que R^2 et R^3 ne sont pas isomorphes (si tu as etudié les revétements, R^2 et R^3 sont les revetements universelle de S1*R et S1*R², donc tout isomorphisme entre les deux ce relève en un isomorphisme des revétement...).

pour montrer cela on peut dire que R^3 privé d'un point est simplement conexe, alors que R^2 privé d'un point ne l'est pas !!

donc soit tu connait des choses sur les revements et tu montrer ce que j'ai dit dans mon deuxieme paragraphe, soit tu peux directement faire le raisonement suivant : R^2*S1 privé d'un point à toujour Z pour groupe fondamental, alors que R*S1 privé d'un point non (sauf erreur, c'est le groupe libre à deux générateur d'apres van-Kampen)

[invité576543]

Bonne idée

Sauf qu'à seconde vue je crois que c'était une belle connerie...

Cordialement,

[invite4ef352d8]

"
Dans le même genre d'idée: comment montrer que Rn privé de l'origine est simplement connexe pour n>=3? Là encore, intuitivement, j'imagine qu'une courbe fermée "entortillée" autour de l'origine peut être "détortillée" pour être mise dans un hyperplan ne contenant pas l'origine, mais de là à l'écrire rigoureusement, il y a un pas que je ne sais franchir.

" >>>

R^n privé de l'origine est homotope à S^(n-1)

pour montrer que S^(n-1) est simplement conexe je connais deux methode :
1) Van-kampen
2) on considère un lacet sur la sphère :
-si il n'est pas surjectif, on prend un point non atteint et la sphère privé de ce point est contractile donc le lacet est homotope à un point.
-si le lacet est surjectif... on l'approche uniformement soit par des lacet C1 soit par des lignes brisé (qui ne peuvent pas etre surjectif) et on prouve que si deux courbes sont "assez proche" l'une de l'autre elles ont la meme classe dans le groupe fondamental (c'est nettement moins simple que le premier point... )

[invite4ef352d8]

je te propose un exemple peut-etre plus simple :

tu prend le cercle unité au qu'elle on ajoute le segment [0,2]

le groupe fondamental est toujour Z (c'est homotope au cercle) mais ce n'est pas homéomorphe au cercle : en effet on peut le disconecter en enlevant un seul point ! (alors que pour le cercle, il en faut 2 ! )

d'ailleur tu peut ainsi construire une famille infinie d'exemple :

tu prendre U(N) = le cercle unité union la demi droit réel R+, union (N-1) segement verticaux coupant la droite réel... c'est toujour homotope au cercle, mais U(N) n'est pas isomorphe à U(M) dès que N est différent de M... (en effet, U(N) à exactement N points tel que si ont les retire U(N) n'est plus connexe, et ce nombre est un invariant topologique ! )

[taladris]

Merci pour vos réponses.

il existe des application continu surjective de [0,1] dans S² (la sphère de dimension 2)

[/QUOTE]

Je ne pensais pas que cela était possible. As-tu des références?

R^n privé de l'origine est homotope à S^(n-1)

C'est justement pour montrer que la sphère S^(n-1) était simplement connexe pour n>=2 que je voulais montrer que R^n privé d'un point est simplement connexe. Je pensais que c'était plus simple dans ce sens là. Je vais essayer avec Van Kampen.

[invite4ef352d8]

j'ai pas de référence précise en tête mais je pense qu'une recherche google sur les "courbe de peano" ou "courbes de peano-Hilbert" te donneront des résultats...

[taladris]

Trois nouveaux exemples: Un anneau avec les deux cercles qui forment son bord, l'anneau avec un seul de ces deux cercles, et l'anneau sans bord.

[invite986312212]

à mon avis l'anneau sans bord c'est le cylindre. L'anneau à bords c'est le cylindre à bords, c'est distinct du cylindre. Tu as regardé du côté de Möbius? son groupe fondamental est Z c'est facile à voir, et il n'est pas homéomorphe au cylindre, c'est un peu plus compliqué à voir.

[taladris]

à mon avis l'anneau sans bord c'est le cylindre. L'anneau à bords c'est le cylindre à bords, c'est distinct du cylindre. Tu as regardé du côté de Möbius? son groupe fondamental est Z c'est facile à voir, et il n'est pas homéomorphe au cylindre, c'est un peu plus compliqué à voir.

Quand je disais trois nouveaux exemples, je voulais parler d'un nouveau triplet d'espaces qui répondent à mon interrogation initiale. Certains sont homéomorphes à des exemples déjà cité: l'anneau sans bord est comme tu l'as dit homéomorphe au cylindre S^1xR.

Je n'ai pas regardé le ruban de Mobius car je ne suis pas très familier avec ce genre d'espaces (la topologie quotient, quelle horreur). Je vais essayer de regarder quand même (merci pour l'exemple)

[invité576543]

Trois nouveaux exemples: Un anneau avec les deux cercles qui forment son bord, l'anneau avec un seul de ces deux cercles, et l'anneau sans bord.

J'ai l'impression qu'il y a deux sens au mot "bord" dans ces phrases. Certes, on peut reconstruire le sens, mais ça peut être troublant pour certains...

Cordialement,

[taladris]

J'ai l'impression qu'il y a deux sens au mot "bord" dans ces phrases. Certes, on peut reconstruire le sens, mais ça peut être troublant pour certains...

Cordialement,

Précisément, je pensais à , et .
C'est vrai que je ne parlais pas de bord au sens topologique . Dans le sens topologique, C a effectivement un bord! Désolé pour la confusion

[invité576543]

(la topologie quotient, quelle horreur).

Pourquoi évoquer une topologie quotient? Le ruban de möbius est représentable dans R³, à l'instar du cylindre! Il n'y pas grande différence à part l'impossibilité d'avoir un möbius de surface (pour la métrique euclidienne R³) infinie.

Cordialement,

[taladris]

Pourquoi évoquer une topologie quotient? Le ruban de möbius est représentable dans R³, à l'instar du cylindre! Il n'y pas grande différence à part l'impossibilité d'avoir un möbius de surface (pour la métrique euclidienne R³) infinie.

Cordialement,

Je ne savais pas. Pour moi, le ruban de Mobius est un carré dont on a identifié les côtés opposés de manière convenable (d'où la topologie quotient). Mais c'est vrai qu'à l'instar du tore ou du cylindre, ça doit être représentable dans R^3.

J'ai encore des choses à apprendre

[invité576543]

Pour moi, le ruban de Mobius est un carré dont on a identifié les côtés opposés de manière convenable (d'où la topologie quotient).

C'est plus usuel de rencontrer des gens qui voient le ruban dans R³ sans connaître l'approche par un carré que le contraire!

Cordialement,

[invite4ef352d8]

D'un autre coté, pour calculer le groupe fondamental l'approche avec le carré est plus simple : ca donne immédiatement le revetement universelle du ruban de mobius...

[invité576543]

D'un autre coté, pour calculer le groupe fondamental l'approche avec le carré est plus simple : ca donne immédiatement le revetement universelle du ruban de mobius...

Tout à fait d'accord. J'ai failli ajouter à mon message un encouragement à penser le ruban par le carré parce que c'est l'approche mathématique la plus simple. Suffit d'écrire une équation de la surface en 3D pour le voir.

La même chose s'applique aussi au tore ou à d'autres surfaces, d'ailleurs...

Cordialement,