A propos de la minoration de l'aire d'un convexe.

[invite36041331]

Bonjour,

Soit K une partie compact convexe du plan, A un point de K et la longueur d'un plus petit segment passant par A et joignant deux points du bord de K.
A-t-on la surface de K est plus petite que ?

Bonn journée.
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[Resartus]

Bonjour,
Oui...

L'aire totale s'obtient en intégrant selon theta l'aire des deux petits triangles d'angle au sommet dtheta autour du point A.

Si d est le "diamétre" correspondant (toujours plus petit que da par hypothèse) et x la distance d'un des cotés, l'aire des deux triangles vaut [x^2+(d-x)^2]*dtheta/2 qui est inférieur à da^2*dtheta/4, avec égalité seulement si A est au milieu (x=d/2) et que d=da.

Et l'aire totale (en intégrant avec theta de 0 à pi), est toujours inférieure à pi*da^2/4, avec égalité seulement si d vaut da pour tout theta, et que A est toujours au milieu : c'est le cercle

Au passage, c'est un MAJORANT, et pas un minorant...

[invite36041331]

J'aurais plus tendance à dire que :
,

avec la longueur d'un plus grand segment, joignant le bord et passant pas , l'aire de K.

[Resartus]

Bonjour,

OK, j'avais mal lu. dA serait le plus petit diamètre, et c'est bien un minorant qu'on cherche.... C'est le fait que tu parles de "surface plus petite que pi.da²/4" qui m'avait fait croire à une erreur.

Ton 2pi est faux, il faut seulement pi des deux cotés

La démonstration devient un peu plus compliquée en effet. Il faut utiliser le fait que c'est un convexe car sinon on peut trouver des contre-exemples.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Pour poursuivre sur le raisonnement :
1) On peut toujours extraire de la surface une surface plus petite et de largeur constante dA.
2) Un théorème dit que le triangle de Reuleaux est la surface de largeur constante qui a la plus petite aire
https://fr.wikipedia.org/wiki/Triang...A9rim.C3.A8tre

3) Le minorant (indiqué dans le lien) vaut (pi-racine(3))*dA²/2, soit 0,704 dA², qui est un peu plus petit que pi.dA²/4 qui vaut 0,785 dA²