la courbe des aires F sur R- et E sur R+ de f(x)=1/x

[invite49d07508]

je me suis trompé encore sur l'origine, elle doit se déplacer de 1 ou de -1, glisser la courbe de A(x) sur le graphique en ajoutant 1ou le retranchant pour les (y). si si , on peut carrément trouver l'équation de A en fonction de x mais toujours vis-à-vis au point d'origine d'aire OA qui est tjrs fixé sur la verticale x=1 ou x=-1. il reste a localisé l'ordonnée de OA. OA(1,F(1)+1) en R+. en R-, OA(-1,F(-1)-1) pour les fonctions inverses paires, et OA(-1,F(-1)-1) pour les impaires.tjrs x=1 ou x=-1 et l'équation de A=f(x) donne la valeur directe de l'aire d'un nombre quelconque x=a vis-à-vis a OA.

posons C(1,F(1)+1) le OA commun en R+ pour toutes les fonctions inverses de x. son image I par l'origine I(-1,F(-1)-1) pour les fonctions impaires sur R-. et P(-1 image par l'axe des y pour les fonctions paires. en R+ A(1) est le minimum de A au point C. en R- A(-1) est le maximum de A pour les impaires au point I et il est le minimum de A pour les paires au point P. pour 1/x impaire: le C(1,1) et le I(-1,-1). pour 1/x^2 paire: le C(1,1) le P(-1,1). etc...

pour f(x)=1/x sa F(x)=ln(v.absolue de x), A(x) sera:
x<-1 : A(x)=-F(x) -1 = -ln(x) -1 (A<0 et F>0 donc on a inversé F).
-1<x<0 : A(x)=F(x) -1 = ln(-x) -1 (on prend F car F<0).
les deux courbes de A se joignent en I(-1,-1). a=-1 est fixé, quelque soit b, si b<-1 on utilise A(x)=-ln(-x) -1. si -1<b<0 on utilise A(x)=ln(-x) -1
0<x<1 : A(x)=-F(x) +1 = -lnx +1 (A>0 et F<0 donc on inverse F).
1<x : A(x)=F(x) +1 = lnx +1 .
les deux courbes de A se joignent en C(1,1). a=1 est fixé, quelque soit b on calcule l'aire directement.

pour f(x)=1/x^2 , F(x)=-1/x, impaire. les OA seront C(1,0) et P(-1,0), f et A tjrs >0:

X<-1 : A(x)=-F(x) -1 = 1/x -1=(1-x)/x.(F<0).
-1<x<0 : A(x)=F(x) -1 = -1/x -1 = (-1-x)/x.
elles se joignent en P.
0<x<1 : A(x)= -F(x) +1 = 1/x +1= (x+1)/x , (F<0).
1<x : A(x) = F(x) +1 = -1/x +1= (x-1)/x .

il suffi de fixer les OA de chaque fonction soient C et I ou C et P. puis glisser la primitive vers les OA en utilisant les bons cotés convenables de la primitive.
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[invite49d07508]

toutes les courbes des fonctions inverses fn(x)=1/x^n définies sur R* passent par M(1,1) en R+. les impaires par N(-1,-1) et les paires par D(-1,1) en R-. le problème qui m'a rendu fou c'est que l'aire A n'est pas fluide. il ne coule pas d'une extrémité à l'autre de R*- et R*+. A réagit différemment . elle ne coule pas de -oo jusqu'à 0- et de 0+ jusqu'à +oo. les fonctions ont des origines d'aire en x=-1 et en x=1. A démarre de x=-1 soi vers -oo ou vers 0- sur R-. et de x=1 soi vers 0+ soi vers +oo sur R+. donc chaque fois il suffi de localiser les OA: C et I ou C et P des aires qui se trouvent sur les verticales x=-1 et x=1, et y glisser les courbes des primitives de Fn(x) qui deviennent les courbes de leurs aires A(x). les équations de A(x) calculent directement l'aire sans intégral de b quelconque puisque x=a=1 ou -1 est déjà fixé.

[invite49d07508]

*Quelques soient fn paires ou impaires: toutes les courbes Cn des aires An des fonctions inverses fn de x se croisent au point d'Origine d'Aire (oa) H(-1,0) en R*-; An>0 si fn sont paires et An<0 si fn sont impaires. Cn se croisent toutes au point d'oa K(1,0) en R*+; An>0.

*x=-1 et x=1 sont les origines aire (oa) mais non pas les zéros aire (za). en oa An s'annules seules (sans fn) et An ne changent pas de signe. en za An et fn s'annules ensemble et changent de signe en coupant l'axe des x.

*Les Cn de An son formées des courbes des primitives Fn de fn. les équations de An sont tirées de celles de Fn.

*Les fn impaires (sauf 1/x) fn(x)= 1/ x^2n+1 (n de N*) ont des primitives Fn(x)= -1/2n.x^2n <0 et paires. Fn(-1)=Fn(1)= -1/2n. sur l'axe des y : -1/2< Fn(-1)=Fn(1)=-1/2n <0 . pour tracer les Cn des An il suffi de glisser les courbes des Fn vers le haut en ajoutant 1/2n (changement d'origine) telles quelles passent par les points des oa H et K. An=(x) deviennent:

x<-1 et 0<x<1 : An(x)= -Fn(x) + 1/2n .
-1<x<0 et 1<x : An(x)= Fn(x) + 1/2n .

Les fn paires fn(x)= 1/x^2n (n de N*) ont des primitives Fn(x)= -1/(2n-1).x^2n-1 impaires. -Fn(-1)=Fn(1)=-1/2n-1. sur l'axe des y : -1< Fn(1)=-1/2n-1<0 et 0<Fn(-1)=1/2n-1<1. pour tracer les Cn des An il suffi de glisser les courbes des Fn vers le bas en retranchant 1/2n-1 pour passer par le oa H sur R*-; et glisser les courbes des Fn vers le haut en ajoutant 1/2n-1 pour passer par le oa K sur R*+. An(x) deviennent:

x<-1 : An(x)= -Fn(x) - 1/2n-1 .
-1<x<0: An(x)= Fn(x) - 1/2n-1 .

0<x<1: An(x)= -Fn(x) + 1/2n-1 .
1<x : An(x)= Fn(x) + 1/2n-1 .

cas particulier: f(x)=1/x. sa primitive F(x)= ln((x)) passe par les oa H et K sans changement d'origine. A(x) est:

x<-1: A(x)= -F(x) = - ln(-x) .
-1<x<0: A(x) = F(x) = ln(-x).
0<x<1: A(x)= -F(x) = - lnx .
1<x: A(x)= F(x)= lnx .

ps: si on calcule l'aire entre a et b d'une fonction inverse tel que a ou b égal à -1 ou 1 on peut utiliser l'une des équations données qui donnent l'aire vis-à-vis d'une oa. si a et b sont différents de 1 et -1 on intègre entre a et b.

[invite49d07508]

Voici enfin une théorie complète et juste d'une fonction inverse de x sur :

*La courbe de l'aire.
*La fluidité de l'aire.
*l'équation de l'aire.

Merci au forum de m'avoir fourni cet occasion pour éclairer cette question sur l'air de 1/x qui m'a longtemps intriguée. Merci à Jacknicklaus et Ansset de toutes leurs aides et patiences à mon entêtement.

[invite49d07508]

Bonjour,

J'ai tracé les courbes de la fonction f(x)=lnx , sa dérivée f'(x)=1/x et sa primitive F(x)=x.lnx -x. J'ai voulu trouvé les valeurs de x de leurs croisement respectifs. svp pouvez-vous m'aider a résoudre les 3 équations:
*f(x)=f'(x) <=> lnx = 1/x <=>x=?
*f(x)=F(x) <=> lnx = x.lnx -x <=> x=? (d'après le graphique il y on a deux valeurs x1 et x2).
*f'(x)=F(x) <=> 1/x = x.lnx -x <=> x=?

Merci !!

[invite49d07508]

bonjour,
je me suis trompé sur les origines d'aire. ce n'est pas les points H(-1,0) et K(1,0) mais les mêmes points C(1,1) et I(-1,-1) pour les fonctions inverses impaires. donc en R*- ; A(x)<0 sa valeur maximale est -1 : A(-1)=-1; en R*+ A(x)>0 sa valeur minimale est 1 : A(1)=1 . Et en C(1,1) et P(-1,1) pour les paires. l'aire A tjrs >0. valeur minimal est 1. l'aire A ne s'annule jamais; l'aire égale -1 ou 1 à l'origine d'aire. les courbes Cn des aires An passent toutes par C et I ou C et P comme leurs fonctions fn.