Primitives compliquées: comment faire?

[invite415734d8]

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis étudiant en physique fondamentale. Régulièrement dans mes poly de cours / livres, je suis confronté à des primitives non-triviales (de mon point de vu de physicien en tous cas). À titre d'exemple, je vous donne la dernière que j'ai rencontré :



N'étant pas mathématicien de formation, je ne cherche pas forcément à connaître ou savoir trouver des primitives de ce genre rapidement sans aide extérieur. Néanmoins, je souhaiterai savoir comment consulter le résultat rapidement, connaissez-vous des tables d'intégrales fiable, très complètes et bien organisées qui permettent de s'y retrouver et contiennent quasiment toutes les intégrales que l'on est susceptible de rencontrer dans la littérature scientifique? (Je n'ai pas réussi à trouver un résultat de cette intégrale avec Mathematica, ou peut-être que je ne l'utilise pas correctement...)

Merci d'avance pour votre aide.

Clément

P.S : si le calcul de l'intégrale ci-dessus n'est pas trop difficile et que quelqu'un sait le résoudre, alors, par curiosité, je suis preneur de quelques éléments de démonstration.
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[gg0]

Bonjour.

A priori, les fonctions, même simples (exp(x²), sin(x)/x, ..) ne s'intègrent pas, au sens où on ne sait pas exprimer leurs primitives par des calculs sur des fonctions simples. Donc si Mathématica ne te donne pas de résultat, il est fort probable qu'il n'y a pas de primitive, voire même d'intégrale de 0 à l'infini.

Il existe des recueils d'intégrales connues, si tu as accès à une BU ils ont peut-être ça.

Cordialement.

[invite415734d8]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. J'entreprends effectivement de trouver un ouvrage complet qui me permette de me sortir d'affaire dans ces situations.

Concernant cette intégrale, il me semble que vous ayez raison, cette fonction ne possède pas de primitive exprimable en termes de fonctions simples. En revanche, je crois que l'intégrale se calcule, et le résultat fait intervenir la constate d'Euler mais je ne parviens pas à retrouver ce résultat sur internet (c'est une question de temps!).

Je me permet de vous poser une autre question, tant que j'y suis: savez-vous comment trouver le développement de en ? Il me semble que l'on peut montrer que .

Bien cordialement,
Clément

[azizovsky]

il y'a ça: https://www.wolframalpha.com/input/?...%5E(2)(x)%5Ddx

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

permet de retrouver cet équivalent en , voire même des termes supplémentaires en soustrayant

Quant au résultat de Wolfram, c'est un résultat approché. Même s'il y a écrit =.

Cordialement

[invite415734d8]

Bonjour,

merci pour votre réponse. Je vois à présent d'où vient vient l'expression du D.L. en .

Concernant le lien que vous proposez azizovsky, un supplémentaire s'est glissé sous l'intégrale et la fonction ne donne pas le résultat que je souhaite (Wolfram semble avoir mal interpreté l'expression que vous proposez.). En rectifiant correctement l'expression, Wolfram prédit



En outre, dans mon cours, l'auteur semble utiliser le résultat suivant



où est la constante d'Euler-Mascheroni.

Or, d'après mathematica,

ces deux quantités sont proches, je ne sais pas si la différence provient d'une erreur d'estimation du logiciel ou si ces quantités ne sont pas rigoureusement égales.

Si elles sont égales, alors ce résultat doit pouvoir se démontrer. Ce n'est pas la première fois que je rencontre des intégrales faisant intervenir la constante , mais je n'ai aucune idée de la façon dont les calculs sont menés.