Les vecteurs - correction d'un exercice

[inviteafc2d3a1]

Bonjour à tous.

Voici un autre exercice qu'une de mes profs a corrigé et qui m'a donné la note de 0/4. Je voulais savoir ce qui serait la véritable bonne réponse.

Soient les ensembles

A = { (α,β) ∈ R^2 | (α, β) est une solution du système: { 2 x + 3y = 0 et 2x - 8y }

et B ={ (u,v) ∈ R^2 | (u,v) est orthogonal à (1,3/2)}

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez vos réponses.

(a) Si (x,y) ∈ A, alors (x,y) ∈ B
(b) Si (x,y) ∈B, alors (x,y) ∈ A


(a) Résolvons le système:
x = 7y/2
2*(7y/2 + 3y) = 0 ie 7y+3y=0 ie 10y=0 ie y=0

La seule solution du système est (x,y) = (0,0)

Vue que (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur donc on ne peut pas parler d'orthogonalité.
Donc, c'est faux.

Remarques: La prof me met "Ah!" devant le "(0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur. (J'ai compris, juste moi qui me suis mal exprimé).
Elle m'a noté "Si: ex: (0,0) | (x,y)= 0" pour le "On ne peut pas parler d'orthogonalité"
Et elle m'a noté "Qu'est ce qui est faux, qu'as-tu montré ?" pour le "Donc, c'est faux".



(b) Une équation cartésienne de (u,v) serait x+3/2y = 0 vue que (1,3/2) est un multiple de (2,3). En effet, (1,3/2) = 1/2 * (2,3)
Cela signifie que si (u,v) est orthogonal à (1,3/2), il est orthogonal à (2,3)
Donc, c'est vrai. Mais, (1,3/2) n'est pas un multiple de (2,-7). Conclusion: C'est faux.

La prof m'a mis un 'v' pour dire que j'ai bon à coté de "Il est orthogonal à (2,3)". Mais elle m'a noté "Lien ? Pourquoi ?" à coté de "N'est pas un multiple de (2,-7). Conclusion, c'est faux."


D'après, mes raisonnements pour les deux exos sont correctes mais je me suis mal exprimé, ce qui m'a fait perdre tous les points. Mais dans le doute, je préfère venir demander si c'est la réponse qui est mauvaise ou bel et bien la façon de m'exprimer.

Merci à vous de vos futures réponses et passez de bonnes fêtes.
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[gg0]

Comme pour l'autre exercice, la priorité pour toi est d'apprendre tes leçons (ton cours). Le fait que tu ne comprennes pas que ta prof réagisse à "Vue que (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur" montre bien que tu ne sais pas de quoi tu parles ("ce qui se conçoit bien s'exprime clairement, et les mots pour le dire viennent aisément" Nicolas Boileau. Autrement dit quand on sait, on ne peut pas mal s'exprimer).

Ensuite, tu pourras refaire un corrigé de cet exercice et l'écrire ici, pour qu'on te dise ce que ça donne (à priori, si tu sais vraiment ton cours, tu saura que c'est juste).

Cordialement.

[inviteafc2d3a1]

Salut gg0,
Par "Je me suis mal exprimé", je voulais dire que lors de l'écriture de l'exercice je voulais dire qu'on ne pouvait pas dire que le vecteur (0,0) ne peut pas être orthogonal à un autre vecteur... Mais j'ai voulu aller plus vite que mon ombre en faisant une phrase courte, et finalement, j'ai émis quelque chose de faux hors que je savais au fond de moi ce que je voulais dire. J'ai toujours eu beaucoup de problèmes pour décrire les maths en français.

"à priori, si tu sais vraiment ton cours, tu saura que c'est juste"
Justement, d'après moi, c'est juste. Mais je ne sais pas si ça l'est réellement puisque j'ai eu un 0 pointé...Du coup, les deux propositions sont peut-être vraies et que j'aurais merdé....Cela me fait hésiter.. :/

Merci de votre réponse,
Febreen.

[gg0]

Désolé, mais si tu en es à dire " (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur" pour dire "qu'on ne pouvait pas dire que le vecteur (0,0) ne peut pas être orthogonal à un autre vecteur", on ne peut rien pour toi : apprends le français courant !
mais je ne te crois pas, en fait, tu as bien dit quelque chose que tu croyais alors mais dont il est évident pour toi que c'est idiot. Mais "le vecteur (0,0) ne peut pas être orthogonal à un autre vecteur" est tout aussi idiot, enfin, pour celui qui sait son cours.
Et celui qui a appris son cours sait comment s'exprimer. Toi, tu l'as seulement regardé de loin, comme s'il allait te salir si tu l'approche plus.
Et tu n'es même pas capable de comprendre que ça vaut 0, tu rêves (" d'après moi, c'est juste"), tu te justifies de nae pas apprendre.

Allez, arrête le baratin, passe au travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafc2d3a1]

En quoi dire que "Le vecteur (0,0) ne peut pas être orthogonale à un autre vecteur" est idiot ?
J'ai dans ma théorie qui est noté noir sur blanc "Le vecteur (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur normal". Et un vecteur normal est un vecteur orthogonal à un autre, il me semble... Du coup, cela me paraît juste...


Je suis capable d'apprendre que ça vaut 0, puisque mes justifications ne sont pas bonnes. Maintenant, comme par exemple dans l'exercice (b), ils me disent "Liens ? Pourquoi ?"
C'est parce que j'ai oublié de préciser que Si (x,y) ∈ B, c'est à dire que (x,y) est orthogonal à (1,3/2), alors (x,y) ∈, c'est à dire que (x,y) est solution du système ci-dessus.
Nous devons supposer que la prémisse est vraie, donc (x,y) est orthogonal à (1,3/2). Un vecteur directeur de (x,y) serait donc (3/2,-1). Tous les multiples de (3/2,-1) seront donc des vecteurs orthogonaux à (1,3/2). Donc, (x,y) = λ * (3/2,-1) avec λ ∈ R.
Pour que la proposition soit vraie, il faut donc que les multiples de (3/2,-1) soit solution du système ci-dessus.
Ce qui est faux. En effet, 2*3/2 -7 * -1= 10 et 10 est différent de 0.
Donc, la proposition de départ est fausse.


C'est bien comme cela qu'il faut faire, non ? Donc, d'après moi, ma réponse était bien juste, c'était faux...Mais je calais sur la justification...Cette justification tient mieux la route ? C'est ce que je veux savoir.

La plupart du temps, j'arrive à trouver la réponse d'instinct mais j'ai du mal à m'exprimer dans mes justifications et c'est surtout là que j'ai besoin d'aide.

Encore merci à toi,
Febreen.

[invite23cdddab]

En quoi dire que "Le vecteur (0,0) ne peut pas être orthogonale à un autre vecteur" est idiot ?
J'ai dans ma théorie qui est noté noir sur blanc "Le vecteur (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur normal". Et un vecteur normal est un vecteur orthogonal à un autre, il me semble... Du coup, cela me paraît juste...

Mon chien ne peut pas être considéré comme un chat. Et les chats sont des mammifères, du coup mon chien n'est pas un mammifère?

Quelle est la définition de "le vecteur u est orthogonal au vecteur v"?

[gg0]

J'ai dans ma théorie qui est noté noir sur blanc "Le vecteur (0,0) ne peut pas être considéré comme un vecteur normal". Et un vecteur normal est un vecteur orthogonal à un autre, il me semble...

Toujours la méconnaissance du cours. Un vecteur normal est un vecteur non nul, orthogonal à une droite, un plan, .... et sert à donner la direction de la droite, du plan, ...
Pour les vecteurs orthogonaux, il y a plusieurs définitions possibles suivant le déroulement de ton cours, mais une caractérisation de u et v sont orthogonaux est par le produit scalaire : u.v=0; et si u est le vecteur nul, cette égalité est vraie.

Ce qui fait que la proposition a est vraie. enfin si on a bien :
A = { (α,β) ∈ R^2 | (α, β) est une solution du système: { 2 x + 3y = 0 et 2x - 8y =0 } }.

Pour la proposition b, plutôt qu'une autojustification, j'aurais préféré une preuve rédigée. Et comme tu as prouvé que A={(0,0)}, il te suffit de trouver un élément de B autre que (0,0) et tu as fini. Là, tu as manqué "d'instinct". Ta preuve revient d'ailleurs à ça, mais elle est noyée dans du baratin inutile. Un seul exemple suffisait.
A ce propos, le travail d'apprenant en mathématiques est de passer de "trouver la réponse d'instinct" à "prouver dans une preuve inattaquable. Et une preuve est inattaquable seulement quand chacune de ses étapes est l'application d'une règle de mathématiques ou de logique. Il y a des tas de propriétés, parfois simples à exprimer (*), dont les mathématiciens sont raisonnablement sûrs, mais qu'ils considèrent à priori comme possiblement faux parce qu'on n'a pas de preuve. Ce sont des conjectures.

Cordialement.

(*) par exemple "tout nombre pair supérieur à 3 est la somme de deux nombres premiers" (conjecture de Goldbach)

[inviteafc2d3a1]

Cela signifie que le vecteur u est perpendiculaire au vecteur v.
Ce qui signifie que tous les vecteurs directeurs de u sont des vecteurs normaux de v.

Sauf que finalement, le vecteur (0,0) est représenté comme un "point" graphiquement si on veut. Donc on ne peut pas réellement dire que ce vecteur soit orthogonal à un autre...

[inviteafc2d3a1]

Ah. La réponse de gg0 est apparue au moment que je rédigeais la mienne.

Pour le u.v = 0...En effet, nous l'avons vu en cours...Mais je ne m'en servais jamais car je confondais peut-être la notion de vecteur normale avec la notion d'orthogonalité, qui pour moi était la même chose...Du coup, j'utilisais toujours la notion d'orthogonalité partout... Merci de m'avoir donné la distinction, je pourrais utiliser le produit scalaire quand cela s'avère nécessaire, dorénavant !

Pour le (b), en effet, nous pouvons donner un contre exemple directement en donnant autre chose que le vecteur (0,0).
Après, les deux justifications sont bonnes, non ?
La façon dont tu viens de m'expliquer est une "preuve directe", et la mienne est une "preuve par l'absurde", non ? Je considère que la proposition est vraie...Je déploie, et j'arrive à la fin à la contradiction comme quoi (3/2,-1) n'est pas solution du système et du coup la proposition de départ est fausse.
Après, la mienne est peut-être plus compliqué, c'est sûre...Mais là, avec ce que j'avais compris, c'est la première chose qui m'est venue à l'esprit.

[gg0]

Une preuve n'est correcte que quand il est facile de la lire. Sans baratin complémentaire, juste ce qu'il faut pour arriver, à partir des hypothèses à la conclusion. Quand on élimine de ton explication ce qui ne sert à rien, il ne reste que ce que j'expliquais, avec le contre exemple. On peut toujours présenter une preuve par contre exemple comme une preuve par l'absurde, mais ça complique, donc ce n'est plus une bonne preuve.
A toi de chercher ce qui prouve et comment les règles du cours le font. Tu n'auras jamais de question ("lien ? Pourquoi ?") quand tu appliques les règles du cours. Et quand tes affirmations seront non justifiées, quand il n'y aura pas application des règles du cours, tu auras toujours 0 (normal, tu n'as pas fait le travail).

Bon travail d'apprentissage des règles !

[inviteafc2d3a1]

Ok merci de ton aide.

Donc, si j'ai bien compris la notion d'orthogonalité et de vecteur normale, le vecteur (0,0) est orthogonale à tous les vecteurs car u.v = 0 dans tous les cas. Par contre, le vecteur (0,0) ne peut pas être utiliser comme vecteur normale puisqu'on ne peut pas s'en servir de "repaire" dans le plan.

Un grand merci pour ton aide, c'est déjà plus clair pour moi !