souci avec l'énoncé d'un exercice.

[maatty]

Bonsoir à tous (et bonne année à vous!)
j'ai un petit problème avec un exercice sur lequel je suis tombé en relisant mes vieux cours.
Il s'agit d'intégrer la fonction: f: (x,y) -> (et valant 0 en (0;0) ) sur un rectangle R=(a,b)x(c,d) contenant justement le point (0;0).
L'énoncé dit "calculer l'intégrale" et mon souci est le suivant: la fonction n'est pas continue en (0,0) du coup; je n'ai à priori pas le droit d'utiliser le th. de Fubini. Sur la correction il y a simplement un calcul successif d'intégrales selon x puis y (ce qui veut dire que le th de Fubini est appliqué) qui se fait assez simplement mais je ne comprends pas pourquoi on peut le faire ( y-a-t-il une chose qui m'échappe sur le théorème).

Je vous remercie par avance pour les éclaircissements que vous saurez m'apporter
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[invite57a1e779]

Il me semble que c'est un exemple qui met en évidence que lorsque la fonction n'est pas intégrable, le calcul successif des intégrales selon x puis y peut donner un résultat différent du calcul successif des intégrales selon y puis x.

Le fait que la fonction ne soit pas intégrable n'a rien à voir avec le fait qu'elle soit discontinue : on intègre les fonctions en escaliers, malgré les discontinuités.

[maatty]

Merci de votre réponse qui m'amène une autre question. Il est vrai qu'on peut intégrer des fonctions discontinues, mais dans la pratique pour calculer des intégrales doubles, on est toujours amené à intégrer successivement, c'est à dire à utiliser le th de Fubini (ou je dis une énorme ânerie?). Du coup, comment fait-on si la fonction est discontinue pour l'intégrer sur un compact de ?

[invite57a1e779]

Le théorème de Fubini ne demande que l'intégrabilité de la fonction, pas sa continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

Je vous remercie beaucoup; en fait j'avais trouvé une version dans un cours mais dans le cadre de l'intégrale de Riemann où les hypothèses données étaient plus fortes (continuité de f)