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continuite , suites

  1. #1
    hibabel

    continuite , suites

    bonjour ,
    j'ai des problemes dans des exercices d'algebre
    le premier :
    Soit B(a,r) (avec a appartient a E er r>0 ) une boule ouvert d'un espace de Banach (E .ll.ll) Consiserons f:B(a,r)-->E une appliaction continue telle que l'application x--?fi(x)=x-f(x) soit une apllication k-lipschitizienne avec 0<k<1
    montrer aue pour x,y appartient a B(a,r) , on a (1-k)llx-yll<=llf(x)-f(y)ll
    j'ai pu repondre aux autres qst de l'exercice , dans cette qst mon probleme c;est que je ne peux pas utiliser l'inegalite triangulaire des normes

    et puis mon 2 eme probleme
    Soit (E,ll.ll) un espace vectoriel norme sur K et soit (un) une suite convergente des vecteurs E et de limites u
    1/ on pose vn=(1/n)(u1+u2+...+un)
    montrer que (vn) converge vers u . examiner la reciproque
    2/on pose wn=(1/n^2)(u1+2u2+3u3+...+nun) montrer que le suite (wn) converge vers u/2
    j'ai pu respondre a la 1 ere qst , mais je me bloque dans la deuxieme , dois-je utiliser la 1 ere qst pour repondre a la 2 eme ?
    merci pour m'avoir aider

    -----


  2. #2
    God's Breath

    Re : continuite , suites

    Bonjour,

    Premier problème

    Citation Envoyé par hibabel Voir le message
    je ne peux pas utiliser l'inegalite triangulaire des normes
    Pourquoi ne pas pouvoir utiliser l'inégalité triangulaire ?

    Par définition de : .

    Donc : .

    Deuxième problème

    Pour prouver que la suite (wn) converge vers u/2, le plus simple est, me semble-t-il, d'utiliser la même méthode que pour prouver que la suite (vn) converge vers u.

    Une petite indication :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    hibabel

    Re : continuite , suites

    merci bcp j'arrive a les demontrer

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