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Diagonalisation de matrice et forme de jordan




  1. #1
    Bartoutatis

    Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Bonjour,

    Je requiers votre aide pour un exercice,

    Soit un Matrice :
    1 a 1
    0 1 b
    0 0 c

    Trouver les conditions sur a,b,c pour que cette matrice soit diagonalisable, je ne comprend pas deux choses,
    comment traduire le fait qu'elle est diagonalisable et surtout en quoi et comment interviennent les formes de
    Jordan (vue à la correction).




    Merci de votre attention
    Bonne année

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    JB2017

    Re : Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Bonjour
    Il me semble bien que les formes de Jordan interviennent ici quand la matrice n'est pas diagonalisable.

    D'abord si c=1 la matrice n'est évidemment pas diagonalisable.


    On suppose donc que c\neq 1.

    soit M la matrice : Elle est diagonalisable ssi son polynôme minimal est: p(x)=(x-1)(x-c)

    autrement dit ssi (M-I)(M-c I)=0, il reste à faire ce petit calcul.

  4. #3
    Bartoutatis

    Re : Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Bonjour, après ce petit calcul j'obtient le système

    (1-c)a = 0 et ab=0, donc 2 cas b=0, c=1, a est quelconque la matrice est diagonalisable, a=0 et b,c quelconques

    Ainsi j'ai deux questions, comment voyez vous que pour c=1 la matrice n'est pas diagonalisable et la correction dit c=1, matrice non diagonalisable, c =/ 1 et a=/0, la matrice n'est pas diagonalisable, je m'étonne de ne pas trouver les mêmes résultats, sans en comprendre la cause, auriez-vous une idée ?


  5. #4
    Tryss2

    Re : Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Supposons que c = 1 et M (ta matrice) diagonalisable.

    Alors, on a forcément que M est semblable à I, la matrice identité (les valeurs propres de M sont 1,1 et c=1). En particulier, il existe donc une matrice inversible P telle que

    Ce qui entraine que : contradiction

  6. #5
    Bartoutatis

    Re : Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Ok super merci pour votre réponse mais qu'en est-il des conditions que j'évoquais sur la diagonalisabilité de la matrice or mis c=/1 ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : Diagonalisation de matrice et forme de jordan

    Bonjour,

    Cas 1 : c=1.

    La matrice A a une unique valeur propre qui est triple, et diagonalise éventuellement en I. C'est impossible comme Tryss2 te l'as expliqué.

    Cas 2 : c≠1.

    La matrice A admet :
    • la valeur propre simple c, et l'espace propre associé est nécessairement de dimension 1 ;
    • la valeur propre double 1, et l'espace propre associé est de dimension 1 ou 2.

    La matrice A est donc diagonalisable si, et seulement si, l'espace propre associé à la valeur propre double 1, qui est Ker(A-I) est de dimension 2, c'est-à-dire, si et seulement si la matrice A-I est de rang 1 (formule du rang). Ici, avec c-1 non nul, la matrice :



    est bien de rang 1 si, et seulement si, a est non nul.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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