Bonjour,
Je requiers votre aide pour un exercice,
Soit un Matrice :1 a 10 1 b0 0 c
Trouver les conditions sur a,b,c pour que cette matrice soit diagonalisable, je ne comprend pas deux choses,
comment traduire le fait qu'elle est diagonalisable et surtout en quoi et comment interviennent les formes de
Jordan (vue à la correction).
Merci de votre attention
Bonne année
Bonjour
Il me semble bien que les formes de Jordan interviennent ici quand la matrice n'est pas diagonalisable.
D'abord si c=1 la matrice n'est évidemment pas diagonalisable.
On suppose donc que c\neq 1.
soit M la matrice : Elle est diagonalisable ssi son polynôme minimal est: p(x)=(x-1)(x-c)
autrement dit ssi (M-I)(M-c I)=0, il reste à faire ce petit calcul.
Bonjour, après ce petit calcul j'obtient le système
(1-c)a = 0 et ab=0, donc 2 cas b=0, c=1, a est quelconque la matrice est diagonalisable, a=0 et b,c quelconques
Ainsi j'ai deux questions, comment voyez vous que pour c=1 la matrice n'est pas diagonalisable et la correction dit c=1, matrice non diagonalisable, c =/ 1 et a=/0, la matrice n'est pas diagonalisable, je m'étonne de ne pas trouver les mêmes résultats, sans en comprendre la cause, auriez-vous une idée ?
Supposons que c = 1 et M (ta matrice) diagonalisable.
Alors, on a forcément que M est semblable à I, la matrice identité (les valeurs propres de M sont 1,1 et c=1). En particulier, il existe donc une matrice inversible P telle que
Ce qui entraine que
Ok super merci pour votre réponse mais qu'en est-il des conditions que j'évoquais sur la diagonalisabilité de la matrice or mis c=/1 ?
Bonjour,
Cas 1 : c=1.
La matrice A a une unique valeur propre qui est triple, et diagonalise éventuellement en I. C'est impossible comme Tryss2 te l'as expliqué.
Cas 2 : c≠1.
La matrice A admet :
- la valeur propre simple c, et l'espace propre associé est nécessairement de dimension 1 ;
- la valeur propre double 1, et l'espace propre associé est de dimension 1 ou 2.
La matrice A est donc diagonalisable si, et seulement si, l'espace propre associé à la valeur propre double 1, qui est Ker(A-I) est de dimension 2, c'est-à-dire, si et seulement si la matrice A-I est de rang 1 (formule du rang). Ici, avec c-1 non nul, la matrice :
est bien de rang 1 si, et seulement si, a est non nul.
