Diagonalisation d'une matrice utilisant une matrice unitaire

[invite90df8615]

Salut tout le monde,
J'ai la matrice suivante (extrait d'un article que je suis entrain de lire) 12.png
ils ont diagonalisés cette matrice de la manière suivante 13.png
Je souhaite savoire si cette methode est connu en math car le fait d'utiliser une marice identité dans le coté droit n'a pas d'influence sur le résultat total.
Merci d'avance
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Nous pouvons interpréter le problème de la façon suivante. Vous avez une application linéaire avec deux espaces vectoriels complexes de dimension 3. Il existe une base de et une base de par rapport auxquelles l'application L est représentée par la matrice . Le problème est de savoir si nous pouvons trouver d'autres bases de et de par rapport auxquelles l'application L est représentée par une matrice diagonale.

Votre second document répond à la question : en prenant (c'est-à-dire ) et , la matrice représentant L est diagonale.

Le fait que la matrice soit prise comme l'identité n'a effectivement aucun impact sur le calcul, mais ça en a un sur le plan conceptuel : nous n'avons pas changé la base de l'espace vectoriel domaine.

[invite90df8615]

Merci Universus. Est ce qu'il y a un cours simple ou je peux trouver des exemples.?

[invite93e0873f]

Malheureusement, je crains que l'explication que j'ai donnée ne soit pas une bien grande idée... autrement dit, je ne pense pas qu'il existe de référence abordant ce sujet avec un soin particulier.

Il s'agit d'une mince généralisation des matrices de passage, c'est-à-dire des matrices de changements de bases, qu'on étudie dans les cours d'algèbre linéaire. Par « généralisation », j'entends que bien souvent, les cours se contentent d'expliquer les changements de bases seulement pour des applications linéaires d'un espace vectoriel V vers lui-même, de sorte que les bases et peuvent être prises identiques (et de même pour et ). Ça explique pourquoi on voit souvent des expressions du genre , avec une seule matrice de passage (possiblement unitaire) U.

Le seul ajout ici, c'est d'avoir plus « d'indépendance » entre les divers bases, de sorte que les changements et n'ont pas à être reliés d'aucune façon...

[A voir en vidéo sur Futura]