Diagonalisation de matrice

[invite64e915d8]

Bonjour,

Je considère une matrice :



On me demande de démontrer que cette matrice est diagonalisable ce qui est trivial puisqu'il s'agit d'une matrice symétrique à éléments réels.

Pourtant quand je calcule les valeurs propres je trouve X=1 (de multiplicité 2) et lorsque je calcule son espace propre associé je trouve un sous-espace de dimension 1

Enfin bon toujours est-il qu'on me demande par la suite de déterminer une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P tel que :



Or puisque P est orthogonale on a
Donc

Pour la matrice diagonale ca va encore puisqu'il faut juste placer les valeurs propres sur la diagonale en revanche pour la matrice P je vois pas comment faire pour ne pas me retrouver avec un système de 9 équations

Des idées ?

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Les colonnes de la matrice P constituent une base orthonormée de vecteurs propres de A.

[invite64e915d8]

Les vecteurs propres que je trouve sont (1 1 0), (-1 0 1) et (1 1 1)... ça ne me donne pas une matrice orthogonale puisque la somme des carrés des éléments d'une même ligne ne donne pas 1 ?

[invitef8010086]

On trouve effectivement 1 valeur propre de multiplicité 2 (je trouve le polynôme caractéristique égal à -(X-1)²(X-4)).

Les vecteurs propres je sais pas trop comment tu t'es débrouillé mais déjà (1,1,0) ne peut pas être vecteur propre.
Tu as effectivement facilement (1,1,1) pour la vp 4. (1/v3).(1,1,1) est normé (mon "v" signifie "racine carrée").
Et pour la vp 1 tu trouves par un calcul facile que par exemple (1/v2).(1,0,-1) et (1/v2).(0,1,-1) sont vecteurs propres et linéairement indépendants .
(t'en avais 2 sur 3 de juste, t'as du faire une erreur bête de calcul quelque part)

N'oublie pas que tes sous-espaces propres sont des espaces vectoriels: si ton vecteur propre n'est pas unitaire, il te suffit de le normer, et ça restera un vecteur propre pour la même valeur propre.

Tous ces vecteurs propres sont bien orthonormés, donc tu as bien ce que te dit God's Breath, et à toi de finir.

A+.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite64e915d8]

Oui je viens de voir mon erreur pour les vecteurs propres !

Par contre une fois qu'on obtient les vecteurs propres, il faut les mettre en ligne ou en colonne dans la matrice ?

[invitef8010086]

Et bien réfléchis à la définition de P. Tu as M=PDP-1, où P est la matrice de passage de l'ancienne base vers la base de diagonalisation. Regarde ton cours pour savoir ce qu'est une matrice de passage et tu devrais avoir ta réponse.

Donc en lignes ou en colonnes les vecteurs propres ?

[invite64e915d8]

Les colonnes de P sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base donc j'en déduis qu'il faut mettre les vecteurs en ligne ?

[invitef8010086]

Et non, ta nouvelle base ce sont tes vecteurs propres !

[invite64e915d8]

Ah ? Je dois les mettre en colonne alors !? Ya quand même un truc qui cloche parce qu'en prenant P :



et en prenant je ne retrouve pas M en faisant

[invite57a1e779]

C'est normal :
– les colonnes de P ne sont pas toutes des vecteurs propres de A ;
– la matrice P n'est pas orthogonale.

[invite64e915d8]

Ah oui ! J'ai confondu base et vecteurs propres !! J'ai choisi une matrice



et ça à l'air de marcher

Merci beaucoup !