Bonjour,je ne sais pas ce que je dois faire avec cette question...pouvez vous m'aider?
On munit Rn de sa structure euclidienne canoniquen note le produit scalaire (x,y).On considère A qui appartient à Mn(R) symétrique. Soit a l'endomorphisme (symétrique) canoniquement associé à la matrice A.Le but de l'exercice est de montrer que l'endomorphisme a est diagonalisable en base orthonormée, et donc que A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale.
a) Soit f:Rn -->R, f(x)=(a(x),x).
Montrer qu'il existe xo de norme 1 tel que f(xo)=supf(x) avec ||x||=1.
b)soit y qui appartient à Rn,||y||=1.soit t qui appartient à [-1,1] (mais différent de -1 et 1).Montrer que : (a(xo+ty),xo+ty)<(a(xo),xo)||x o+ty||² (c'est infférieur ou egal mais je ne sais pas faire le signe..dsl...) eten déduire que xo est vecteur propre pour a.(Indication:faire tendre t vers 0).
c) Montrer que l'hyperplan orthogonal à xo (noté (Rxo-)) est stable par a ,et que la restriction de a à (Rxo-) est un endomorphisme symétrique de (Rxo-) muni de la struture euclidienne induite par celle de Rn.
d) En déduire qu'il existe une base orthonormée de Rn qui diagonalise a.
Merci d'avance...
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Envoyé par C.F 
. Ici le compact est la sphère unité..tu peux le prendre tel quel ou le démontrer pas trop difficilement.