diagonalisation de matrice
voici ma matrice :
A =
5 1 -1
2 4 -2
1 -1 3
Pour pouvoir la diagonaliser il me faut chercher les vecteurs propres et donc les valeurs propres.
Pour celà il faut calculer : det(A-XI)
Je ne sais pas comment calculer ce déterminant, quelle est la méthode à utiliser?
Bonjour,
Tu ecris ta matrice A - x I et tu appliques la règle de Sarrus.
det(A-XI) = dét
(5-X 1 -1 )
( 2 4-X 2 )
( 1 -1 3-X)
Cela devrait te donner un polynôme dont tu peux extraire pas mal de choses qui sont écrites dans ton cours
Etons vraiment obligé d'utiliser la règle de Sarrus ?
Je tombe sur une équation du 3 ème degres ce qui n'est pas très évident à résoudre.
Si on avais une matrice plus grande que 3x3, et si le degrè de l'équation à résoudre est assez important, n'y aurait il pas une autre méthode?
ok laisse sarrus il va pas faire grand chose pour toi,
sais tu faire des opérations sur les déterminants de matrices ? il faut t'habiter à faire des opérations sur les lignes et les colones.
Regarde, additionne la première colonne avec la 2 ème laisse la 2 ème et la 3 ème telle quelle
Ensuite développe selon la 1 ère colonne qui possède un facteur commun du coup tu as quelquechose du 2nd degré facile à résoudre.
Il n'y a que des solutions relativement simples dans ce cas, donc Sarrus marche bien.
D'ailleurs si on applique Sarrus sans tout développer, il ya un facteur qui apparaît assez facilement.
Pour calculer le déterminant d'une matrice d'ordre de n,
tu choisis de développer selon une ligne ou une colonne de ton choix (celle qui t'arrange tant qu'à faire)
exemple
--C1 C2 C3
L1 1 2 3
L2 4 5 6
L3 7 8 9
ici on choisit de développer selon L2
à chaque terme il faut prend la matrice composée des termes ne figurant ni sur la ligne ni sur la colonne du terme et calculer le déterminant de cette matrice qui a donc un degré de moins
donc pour le terme 4, je prend la matrice de degré 2 :
2 3
8 9
attention à respecter l'ordre. la j'ai plus qu'à calculer le déterminant d'une matrice de degré 2 en mettant 4 en facteur, c'est facile (si le degré est plus important, il faut recommencer juqu'à que ce soit résolvable voir post suivant "dans la réalité"), puis je continue avec les termes suivants : 5 et 6
On fait ça à chaque terme de la ligne Mais évidemment la vie est dure et il y a encore une feinte. Il faut appiliquer la règle suivante, on applique un signe devant chaque terme pris comme facteur en alternant + et - soit :
- + -
+ - +
- + -
c'est à dire :
pour le terme 4 il faut mettre un "+" devant car la position 4 est positive mais la 5 sera négative et 6 positive,
Maintenant j'ai tout pour calculer mon déterminant :
pour 4
je prend la matrice de degré 2 :
2 3
8 9
d'où 4(9*2 - 3*8) = - 24
Pour 5
je prend la matrice de degré 2 :
1 3
7 9
d'où -5(1*9 - 3*7) = 60
Pour 6
je prends la matrice de degré 2 :
1 2
7 8
d'où 6(1*8 - 2*7) = -36
au final le déterminant est : -24 + 60 - 36 = 0 voilà
"dans la réalité"
Sarrus ou n'importe quelle règle de toute façon, le plus important pour se sortir des déterminants tordus de matrice de n'importe quel ordre, il faut absolument faire des opérations sur les lignes et les colonnes afin de faire apparaître des 0 ainsi que des termes identiques sur une même ligne ou même colonne cela te permettra de mettre en évidence des factorisations.
c'est pour ça que je t'ai proposé d'ajouter la 1ère colonne à la 2ème cela te permet de mettre en évidence un facteur dans ton polynôme (qui reste de degré 3 mais qui est déjà en partie factorisé)
attention, ça n'est pas la seule simplification possible bien entendu et enfin, comme dit matthias, sarrus marche aussi, mais c'est toujours intéressant d'avoir plusieurs méthode pour s'en sortir
Lorsque l'on doit calculer un polynôme caractéristique, ainsi qu'un polynôme minimal, on est mieux de faire des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
En effet on a un théorème qui dit que deux matrices de Mn(k) sont semblables si et seulement si leurs matrices caractéristique (ie M-X) sont équivalentes dans Mn(k[X]).
Si on arrive donc à faire des pivot sur notre matrice de départ, (toujours possible), et que l'on arrive à la transformer au final en une matrice diagonale telle que chaque élément divise le suivant, (encore une fois, toujours possible), alors on trouve directement les polynômes minimal et caractéristique:
le polynôme minimal est le polynôme qui apparait tout en bas à droite de la matrice. Le caractéristique est au signe près, le produit des éléments de la diagonale.
L'avantage de cette méthode est que c'est un pivot, donc la rapidité de l'algorithme doit être intéressant je pense (je ne suis pas expert en complexité d'une manière générale).
La seconde, est que l'on arrive le plus souvent à garder notre polynôme sous forme factorisée (bien que rien de soit garanti) ce qui est intéressant lorsque l'on a des polynômes d'ordre supérieur à 2.
En espérant ne pas avoir racconté trop de bétises.
Ok je viens de faire une énorme boulette la règle de signe est inversée, il faut donc remplacer tout ce qu'il y a dessus par :Envoyé par Romain BERTOUY
On fait ça à chaque terme de la ligne Mais évidemment la vie est dure et il y a encore une feinte. Il faut appiliquer la règle suivante, on applique un signe devant chaque terme pris comme facteur en alternant + et - soit :
- + -
+ - +
- + -
c'est à dire :
pour le terme 4 il faut mettre un "+" devant car la position 4 est positive mais la 5 sera négative et 6 positive,
Maintenant j'ai tout pour calculer mon déterminant :
pour 4
je prend la matrice de degré 2 :
2 3
8 9
d'où 4(9*2 - 3*8) = - 24
Pour 5
je prend la matrice de degré 2 :
1 3
7 9
d'où -5(1*9 - 3*7) = 60
Pour 6
je prends la matrice de degré 2 :
1 2
7 8
d'où 6(1*8 - 2*7) = -36
au final le déterminant est : -24 + 60 - 36 = 0 voilà
"On fait ça à chaque terme de la ligne Mais évidemment la vie est dure et il y a encore une feinte. Il faut appiliquer la règle suivante, on applique un signe devant chaque terme pris comme facteur en alternant + et - soit :
+ - +
- + -
+ - +
c'est à dire :
pour le terme 4 il faut mettre un "-" devant car la position 4 est négative mais la 5 sera positive et 6 négative,
[I]Maintenant j'ai tout pour calculer mon déterminant :
pour 4
je prend la matrice de degré 2 :
2 3
8 9
d'où -4(9*2 - 3*8) = 24
Pour 5
je prend la matrice de degré 2 :
1 3
7 9
d'où 5(1*9 - 3*7) = -60
Pour 6
je prends la matrice de degré 2 :
1 2
7 8
d'où -6(1*8 - 2*7) = -36
au final le déterminant est : 24 - 60 + 36 = 0 voilà
bon ok ça change pas le résultat, mais attention, une erreur de ce genre peut avoir des conséquences plus importante.
moralité : raison supplémentaire pour simplifier au mieux sa matrice avant de se lancer dans le calcul.
