Diagonalisation de matrice

[bratak]

Bonjour, j'aimerai avoir de l'aide pour diagonaliser cette matrice:

|1 0 1|
|0 1 0|
|1 0 1|

Voila, mon problème repose sur la définition des valeurs propres du déterminant.
J'ai trouvé comme valeur:

Det= (1-λ)³ - (1-λ)


Ce qui donne en factorisant:

=(1-λ) . [(1-λ)² - 1]
on remarque l'identité remarquable
soit:
=(1-λ) . [(1-λ)² -2(1-λ) + 1]
=(1-λ)³ + (1-λ) -2(1-λ)²

Après je sais pas vraiment comment factoriser pour obtenir les 3 valeurs propres dont j'ai besoin pour diagonaliser ma matrice.


Merci de m'aider svp.
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[GalacticSwirl]

salut,

lambda*(1-lambda)*(lambda-2) = 0

valeurs propres : lambda1 = 0; lambda2 = 2; lambda3 = 1

[bratak]

salut, merci pour ton aide, mais j'ai beau retourné le problème dans tout les sens, je n'arrive pas à comprendre comment tu en est arrivé à
Det=lambda*(1-lambda)*(lambda-2)

[invite31760d20]

Ce qui donne en factorisant:

=(1-λ) . [(1-λ)² - 1]

Produit nul = Un des termes du produit est nul (au moins un des 2....)

Donc soit λ=1, soit (1-λ)² =1
Donc soit λ=1, soit 1-λ=1, soit 1-λ=-1
Donc λ=1 ou 0 ou 2

[A voir en vidéo sur Futura]

[bratak]

super, merci j'ai enfin compris, j'avais oublié la valeur négative du ², et donc je trouvais je 2 valeurs propres.

D'ailleurs, est-il possible de trouver seulement 2 valeurs propres sur une matrice 3x3?
on m'a parlé de valeurs doubles, est-ce justement le cas ici?

[GalacticSwirl]

En fait, pour une matrice 3x3 tu dois avoir 3 valeurs propres. Après elles peuvent être dictinctes ou non.

S'il existe n valeurs propres distinctes, alors l'endomorphisme est diagonalisable