Polynomes et cotan

[invite0b8596cd]

Bonjour!

Je dois au cours d'un DM montrer qu'il existe un unique polynôme Pn et donner son expression tel que:
sin((2n+1)x)=(sin(x)^2n+1)Pn(c otan(x)^2) pour tout x de ]0,pi/2]

J'ai essayé à l'aide du formulaire trigo de modifier ça et j'arrive à 2cos(nx)^2-1=sin(x)^2n*Pn((cos(x)/sin(x))^2) mais bon je ne vois pas quoi en faire...

J'ai essayé de démontrer l'unicité mais je suis juste arrivée en supposant Pn=/Pn' à Pn((cotan(x)^2))=Pn'((cotan(x) ^2)), donc à partir que c'est évident que Pn doit être égal à Pn' je n'ai pas de réelle proposition à donner.

On m'a par ailleurs indiqué que était la partie imaginaire de mais je ne sais pas trop quoi en faire...

Auriez-vous de l'aide à me donner?
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Le problème en est un consistant à savoir comment exprimer (pour un entier) en termes de fonctions trigonométriques plus « élémentaires », c'est-à-dire ne faisant pas intervenir dans leur argument, par exemple ou .

Exemple simple : nous savons que , ce qui peut se récrire (dans un intervalle approprié) , qui est bien de la forme .

Fort de cet exemple, nous voyons quelle est la principale difficulté : déterminer l'équivalent pour de la formule tenant pour .

Pour comprendre comment résoudre ce problème, je vous suggère d'étudier quelques applications de la formule de de Moivre : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...e_de_de_Moivre
Ceci rejoint les indications que vous aviez déjà reçues.

[Médiat]

On m'a par ailleurs indiqué que était la partie imaginaire de mais je ne sais pas trop quoi en faire...

Bonjour,

Il "suffit" de mettre sin(x) en facteur dans cette formule et de connaître le développement du binôme de Newton.