Forme de Jordan

[invitecdb4d073]

Bonjour

J'ai deux un soucis... les voici:

1)

Soit la matrice A:=

Sont polynôme caractéristique est (r-2)³

Sa forme de jordan est


Mais pourquoi pas ?? .

2)

Pour trouver la matrice de passage je pars de:


Avec J la forme de jordan (la bonne...)

Ce qui me mène à:




Bizarrement la deuxième équation est inconsistante et le système ne peut pas être résolu, pourtant j'ai vérifié l'algèbre et les relations semblent correctes.

Je fait clairement une faute de raisonnement à quelque part, mais où?

merci pour vos réponses.
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[sylvainc2]

1) Il y a un bloc de Jordan pour chaque vecteur propre indépendant de la matrice. Ici, A n'a que 2 vecteurs propres indépendants, alors il y a 2 blocs, et comme A est 3x3, les blocs sont forcément 2x2 et 1x1.
S'il y avait eu 1 seul vecteur propre, alors il y aurait eu 1 bloc de 3x3 et la forme de Jordan aurait été celle de ton "mais pourquoi pas".

2) La matrice (A-2I) n'est pas inversible alors (A-2I)v2=v1 n'a pas nécessairement de solution selon la valeur de v1 que tu a choisie. Le plus simple dans ce cas est de choisir un v2 qui n'est pas vecteur propre de A, par exemple (1,0,0), puis calculer v1 avec (A-2I)v2=v1, et enfin de choisir un v3 vecteur propre de A indépendant de ce v1.

[invitecdb4d073]

Merci pour ton aide!

Le brouillard commence à ce dissiper.

Est ce qu'il y a un moyen pour voir "facilement" combien il y a de vecteurs propres indépendants?