Forme normale de jordan

[invite340b7108]

Bonjour,

Je dois trouver la forme normale de Jordan de la matrice suivante



Mais je ne vois pas comment faire. Le polynôme caractéristique est et donc je pense que la forme de jordan sera quelque chose comme ça



mais comment je pourrais le démontrer ?
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[invite57a1e779]

En prouvant que (X-1)ⁿ est le polynôme minimal de A, donc en prouvant que (A-I)^k est non nulle pour k<n.

[invitebe08d051]

Salut,

On peut toujours suivre la méthode classique.
Posons et l'endomorphisme canoniquement associé à , est nilpotent d'indice .
Il existe un vecteur de l'espace considéré tel que est une base de , et dans laquelle la matrice de est telle que l'avez cité.

Reste à trouver , on peut par exemple essayer

[invite340b7108]

En prouvant que (X-1)ⁿ est le polynôme minimal de A, donc en prouvant que (A-I)^k est non nulle pour k<n.

Je n'ai pas vu le polynôme minimal en cours. J'ai trouvé la définition sur internet, mais je ne vois pas pourquoi ça montre que la forme de jordan est comme ça. Ca dit juste qu'il a les même racine que le polynôme caractéristique, non ?

Salut,

On peut toujours suivre la méthode classique.
Posons et l'endomorphisme canoniquement associé à , est nilpotent d'indice .
Il existe un vecteur de l'espace considéré tel que est une base de , et dans laquelle la matrice de est telle que l'avez cité.

Reste à trouver , on peut par exemple essayer

Je n'ai aucun exercice sur la forme de jordan donc j'ai du mal à voir à quoi ça correspond. Dans mon cours, le théorème dit "il existe une base B telle que soit une matrice de jordan nipolente, pour une certaine partition p de n."
Je ne comprends pas trop cette histoire de partition.
Donc là, si je comprends bien, vous proposez de trouver la base pour laquelle la matrice B est la forme de jordan que j'ai donné plus haut ?!
Juste une dernière question qui peut vous paraître stupide, mais comment sait-on que est une base ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je n'ai pas vu le polynôme minimal en cours. J'ai trouvé la définition sur internet, mais je ne vois pas pourquoi ça montre que la forme de jordan est comme ça. Ca dit juste qu'il a les même racine que le polynôme caractéristique, non ?

Tu peux utiliser la méthode sur les matrices de Jordan que tu as décrite dans un autre post : l'indice de nilpotence de A-I correspond à la taille du plus gros bloc dans la réduction de Jordan.

[invite340b7108]

D'accord, mais je suppose que je dois démontrer qu'elle est nipolente d'indice n. Je vais essayer de faire une récurrence.

Merci

[Seirios]

Un résultat utile à connaître : en notant la matrice avec des 1 sur la "ième diagonale", on a (pour i>1, i=1 étant la "vraie diagonale") , donc . La matrice dont tu cherches l'indice de nilpotence est justement .
Sinon, tu peux interpréter la matrice comme un endomorphisme, par exemple sur les polynômes ; cet endormorphisme abaisse alors le degré de chaque terme du polynôme et supprime le terme constant. A partir de cette interprétation, on trouve facilement l'indice de nilpotence.

[invitebe08d051]

Je n'ai aucun exercice sur la forme de jordan donc j'ai du mal à voir à quoi ça correspond. Dans mon cours, le théorème dit "il existe une base B telle que soit une matrice de jordan nipolente, pour une certaine partition p de n."
Je ne comprends pas trop cette histoire de partition.
Donc là, si je comprends bien, vous proposez de trouver la base pour laquelle la matrice B est la forme de jordan que j'ai donné plus haut ?!
Juste une dernière question qui peut vous paraître stupide, mais comment sait-on que est une base ?

Le résultat est simple. Si un endomorphisme vérifie et alors il existe un vecteur non nul tel que est une base de l'espace considéré. Tu peux montrer ce dernier point en montrant que cette famille est libre. Dans une telle base, ta matrice (cad ici ) prend la forme voulue. Reste à trouver . Essaye celui que j'ai donné precedement.

[Seirios]

Le résultat est simple. Si un endomorphisme vérifie et alors il existe un vecteur non nul tel que est une base de l'espace considéré. Tu peux montrer ce dernier point en montrant que cette famille est libre.

Ce résultat est d'ailleurs vrai à partir du moment où pour tout , . Avec l'interprétation polynômiale de mon message précédent, on devine facilement que le vecteur correspondant au polynôme devrait convenir.

Dans une telle base, ta matrice (cad ici ) prend la forme voulue.

En fait on obtient la transposée Histoire de chipoter, il faudrait considérer la base