Isométries distinction point/vecteur algébrique/géométrique

[invite41916546]

Bonjour à tous,

J'ai un problème de compréhension concernant mon cours sur les isométries (dans R^2). A la base on dit qu'une isométrie est une application qui agit sur des points qui ont certaines coordonnées dans le repère qu'on s'est fixé. On fait ensuite l'identification M = vecteur (OM) (de manière générale, vecteur (PQ) = Q - P) et on ne travaille que sur des vecteurs/espaces vectoriels pour étudier les isométries (matrices orthogonales associées aux isométries linéaires, etc). Du coup quand on dit qu'une symétrie orthogonale se fait par rapport à une certaine droite, je ne comprends plus le sens de la chose : en soit un vecteur on peut le dessiner partout dans le plan, il ne part pas forcément de l'origine du repère, et donc pour deux mêmes vecteurs dessinés à deux endroits différents la symétrie se fait par rapport des droites d'équations différentes. J'ai l'impression que les isométries agissent sur des vecteurs au sens "éléments d'un espace vectoriel" et non au sens "vecteur géométrique" mais je ne saisis pas vraiment la différence.
Pourriez-vous m'éclairer sur ce sujet ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Il faut bien distinguer ce qui relève de l'affine (les points, pour dire vite) et ce qui relève du vectoriel. Donc on va étudier les isométries du plan en séparant ce qui est affine et ce qui est vectoriel. Par exemple, si tu considères une translation, elle transforme M-P en M'-P'=M-P; l'application linéaire associée est donc l'identité. Toutes les translations ont la même application linéaire associée, mais se distinguent l'une de l'autre pas le fait (affine) que le point fixe A a une image particulière.

Je te laisse revoir ton cours de ce point de vue, éventuellement vois dans un livre sur la géométrie affine des éléments bien caractérisés.

Cordialement.

[invite41916546]

Merci beaucoup pour votre réponse j'ai compris !