EDP : Heat equation

[a0000dd]

Salutation !

Je sollicite votre aide pour un problème que je n'arrive pas a résoudre , il s'agit d'une simple EDP ( Je viens d'entamer ce chapitre et je rencontre quelques difficultés...)

pour U_xx= d²U/dx² et U_t= dU/dt

U_t - a U_XX=K (K et a sont des constantes )

Avec comme condition initiales

U(x,0)=0

et comme conditions aux limites:

U(0,t)=0, U(L,t)= C (C constante )
.

J'ai essayé de la résoudre en utilisant la transformée de Laplace mais j'ai l'impression que ça ne mène a rien .

Je vous remercie d'avance.

PS: si vous avez de bonne références afin d'acquérir les bases du chapitre je suis preneur)

Cordialement
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[jacknicklaus]

Je sollicite votre aide pour un problème que je n'arrive pas a résoudre , il s'agit d'une simple EDP

Il s'agit de tout sauf d'une "simple" EDP, il a fallu attendre l'arrivée de techniques puissantes (séries de Fourier) pour en venir à bout.
Un bon article sur cette équation et sa résolution : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89..._de_la_chaleur

[albanxiii]

EDP : Equation de la chaleur

ou

PDE : Heat equation

il faut choisir, mais un peu de cohérence c'est pas plus mal.

[a0000dd]

Je n'ai pas cherché a nier les efforts fourni à sa résolution en la qualifiant de 'simple' ,


Vous dites ça alors que votre citation '[FONT=Verdana, Geneva, sans-serif]Not only is it not right, it's not even wrong!' est en anglais alors que vous parlez français , Personnellement j'adore mélanger [/FONT]


Passons au plus important, si quelqu'un pouvait m'aider avec des conditions aux limites différentes comme pour l'exemple précédant je lui en serai très reconnaissant


Je vous remercie pour vos réponses .

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonjour ton équation pose problème. Je ne dis pas qu'il n'y a pas de solution mais en tout cas
il faudra en chercher une dans un sens faible.
En effet à l'instant t=0 u(x,0)=0 En particulier u(L,0)=0 et la condition u(L,t)=C n'est pas satisfaite à l'instant t=0.

Si C n'est pas égal à 0, la solution ne peut pas être régulière.

[a0000dd]

Merci pour votre réponse , j'ai oublier de préciser mais les conditions aux limites sont données comme ceci :


Pour t >0 (et donc strictement supérieur a 0) U(0,t)=0 et U(L,t)=C


Je vous remercie

[JB2017]

Oui mais cela ne change rien à ce que j'ai dit. Si tu as une solution qui a une certaine régularité et que tu regardes ce qu'il se passe en x=L
u(L,t)=C et quand t tend vers 0 u(L,t) tend vers C alors qu'à l'instant t=0 u(L,0)=0.
"Physiquement parlant" ta solution est dérivable par rapport à la variable t et deux fois dérivable par rapport à la variable x.
On s'attend au moins à ce que u(L,t) est continue. Or il y a une discontinuité en t=0 à cause de t=0.
Maintenant je ne sais pas à quel niveau tu te situes, mais si tu gardes l'énoncé tel quel, il faut alors commencer par donner un cadre abstrait au problème
et voir s'il a une solution. si c'est la cas il sera dans un espace faible.

[a0000dd]

D'accord, je saisis bien le problème de continuité mais comment pourrait-on restreindre ça ? et comment surtout peut on définir la solution, par quoi faut il passer pour arriver a un résultat ?

[JB2017]

Si C=0 ou bien la condition initiale u_0(x)=u(x,0) vérifie les 2 conditions bords (u_0(0)=0 u_0(L)=C) on sera dans un cas "classique" que je qualifierai de réaliste.

En tout cas on peut se ramener à la condition u(L,t)=0 en posant v(x,t)= u(x,t)-C/L*x (mais la condition initiale v(L,0) ne sera pas 0)

Ainsi l'inconnue est maintenant v et vérifie la même équation que v saut maintenant v(x,L)=0.

On pose X=L^2(0,L) est
La famille (e_n) est une base orthonormale de X.

On peut d'abord chercher une solution formelle de la forme \sum_{n\geq 1} (a_n(t) e_n(x)).
On écrit K dan s la base les k_n étant à calculer.

On projette l'équation sur "chaque " On aura pour chaque n une équadiff vérifiée par facile à résoudre (on tiendra compte aussi de la condition initiale )

La solution obtenue sera formelle, il faudra voir dans quel espace elle se situe.

[azizovsky]

je cois que les conditions sont :