dimension espace fini infini

[invite270c37bc]

bonsoir!

j'ai un petit problème qui je pense tiens à une incompréhension des notions :

la dimension d'un produit cartésien vaut la somme des dimensions. Ainsi dim R^4 = 4 * 1

pourtant si on calcule la dimension d'un corps fini (déjà un corps fini est de dimension supérieure à celle de R? ou est ce que en parlant de dimension pour un corps fini on parle alors de cardinal ce qui serait alors incomparable?)

on trouve que le corps fini à deux éléments noté F2 :

dim F_2 = 2
dim F_2^4 = 2^4 et alors la formule du produit cartésien ne semble plus fonctionner...

si vous avez une réponse

merci!
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[gg0]

Bonjour.

Tu sembles confondre la notion de dimension d'un espace vectoriel avec celle de nombre d’éléments : F2 a deux éléments, mais sa dimension, comme espace vectoriel sur F2 est 1. Et donc comme espace vectoriel sur F2, dim F_2^4 = 1*4 =4
Par contre, le nombre d'éléments de F4 est bien 2^4 (facile à voir, on peut les énumérer).

Rappel : la dimension d'un espace vectoriel dépend du corps de base considéré. Par exemple, la dimension de (R²,+,.) vu comme espace vectoriel sur Q est infinie, alors que comme espace vectoriel sur R c'est 2.

Sur ces notions, prends un bon cours d'algèbre linéaire et éventuellement un bouquin sur les corps finis (et le codage, si c'est ton but).

Cordialement.