Valeurs propres et espace vectoriel de dimension infini

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Tout en lisant un cours sur la réduction d'endomorphisme, je m'arrête sur la caractérisation suivante:

Soit , est valeur propre de ssi .

Voulant démontrer ce résultat, une des implications est évidente:

Si est valeur propre de , alors il existe un vecteur de non nul tel que: et donc et par suite n'est pas bijectif et donc son déterminant est nul.

Réciproquement, entraine la non-bijectivité mais non la non-injectivité tant que E est de dimension infinie.

Je vous demande donc est ce que cette caractérisation est vrai en dimension infinie ??

De ma part, je dirais que non, mais je n'arrive pas à trouver un contre exemple...

Qu'en pensez vous ??
Merci
Cordialement
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[invite4793db90]

Salut,

question peut-être idiote, mais comment définis-tu le déterminant d'un endomorphisme en dimension infinie ?

Cordialement.

[invitebe08d051]

Salut,

question peut-être idiote, mais comment définis-tu le déterminant d'un endomorphisme en dimension infinie ?

Cordialement.

Votre question est loin d'etre idiote.
En revanche...

Je retire mon premier post .

(Ah.... !! Apres les vacs )
Merci.

[invite4ef352d8]

Ceci dit, tu met quand même le doigt sur un problème important de la théorie spectral en dimension infini : il y a une différence entre (u-x.id) est non bijectif et x est valeur propre de u.

Ca amène des complications dans certain cas, et dans d'autre ces deux notion s'avère coincider (classiquement pour u opérateur compact et x différent de 0...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

pour compléter, un exemple éloquent est le shift à droite : , qui n'admet pas de valeurs propres.

Cordialement.