Contraction entre un p forme et un p vecteur

[GrisBleu]

Bonjour

Dans le "Gravitation" de MWT, p92, il est introduit une notion de contraction d'une p forme sur un p vecteur avec
- un élément de la base duale
- un élément de la base des p formes
- un élément de l'espace vectoriel de base
- un élément de la base des p vecteurs

Il est alors noté
où le delta vaut 0 si des indices i ou i se répètent, 0 si n'est pas une permutation de et + ou - 1 si les i sont une permutation des j, avec le signe de la signature

J'ai un problème car
- J'obtiens ce résultat pour le produit intérieur successifs des p vecteurs

- Mais si je contracte les indices de la p forme et du p vecteur, dans le cas ou les i sont une permutation des j, j'obtiens un entier plus grand que 1 (p! je pense). Par exemple

, et donc leur contraction donne


Ai-je fait une erreur ? Est-ce que la notation de contaction entre p forme et p vecteurs est en fait le produit intérieur successifs et non la contraction de tous les indices ?

Merci de votre aide
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[mach3]

Voir ici pour commencer : forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/791126-contraction-dune-p-forme-un-p-vecteur.html

On verra ensuite...

m@ch3

[GrisBleu]

Bonjour

Je ne suis pas le seul à avoir bloqué sur cette définition

Je pense avoir une piste.
1/Sur l'algèbre des formes, si l'espace de base dispose d'une métrique, on peut définir un produit scalaire entre p-formes (ou p-vecteurs) par

C'est assez "intuitif" en prenant qques exemples avec une base orthonormée
2/ Si on prend une base e1,...,en de l'espace vectorielle de base et dx1,...,dxn la base duale.
Au p-vecteur on peut associer la p-forme où chaque vecteur e est "descendu" en forme g(e,.) par la métrique. On peut alors prendre le produit scalaire avec





Ainsi, si les indices i et j sont égaux, on le déterminant de la matrice unité, soit 1. Si ils sont reliés par une permutation, on retoruve le signe + ou - 1

Et donc on trouve le résultat voulu si on définit la contraction entre une p forme W et un p vecteur V par le produit scalaire (d'où la notation similaire) entre W et la forme associée à V par la métrique

Cdlt

[GrisBleu]

Avec pas mal de retard, je te livre ma solution
1/ D'abord quelques notations
I est un multi indices ordonnés:
est la p forme où I est ordonné
est le p vecteur où J est ordonné
est le déterminant de la matrice des
est le déterminant de la matrice des
Une p forme a s'écrit et

2/ Correspondance p forme et p vecteur
A une forme , on fait correspondre le p vecteur où (faut faire l'exercice) et les I et K sont ordonnées
Donc ressemble à une métrique. On retrouve le produit scalaire des p formes
LA même discussion se fait avec les p vecteurs et

3/ Contraction
A un p vecteur général , on fait correspondre la p forme
Le produit scalaire de cette p forme avec une autre donne

Ces calculs ne fonctionnent qu'avec des indices ordonnés

Pour conclure, la contractgion dont il est question dans le livre est bien différente de la contraction habituelle car
1/ elle ne concerne que des objets où les sommes n'ont souvent de sens qu'avec les indices ordonnés
2/ elle nécessite un produit scalaire

Je ne sais pas si tu avais trouvé autre chose
++

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Correctif sur mon dernier post. Pas de métrique nécessaire pour la contraction