Revetement ramifié.

**Anonyme007** · 08/02/2018, 22h37

Bonjour à tous,

Sur lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/pho...ad.php?2,49103 , quel théorème ou proposition utilise Bosio frédéric pour affirmer que : la projection d'un voisinage de $\text{[math]}$ au départ sur un voisinage de $\text{[math]}$ a l'arrivée s'identifie au quotient par le groupe $\text{[math]}$ , qui fixe $\text{[math]}$ .
Mon background en théorie des revêtements est ce qui suit :
- $\text{[math]}$ agit sur la fibre $\text{[math]}$ du revêtement $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , défini par : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ qui contient la singularité $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est la projection locale autour de $\text{[math]}$ .
- Le stabilisateur de $\text{[math]}$ qui laisse fixe $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , non ?.
- Si $\text{[math]}$ est proprement discontinue sur $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ s'identifie à $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , non ?. ( Ou bien tout ça ne fonctionne que dans le cadre non ramifié ? pas dans le cadre ramifié ?

)
Alors, dans l'exemple de frédéric bosio, $\text{[math]}$ , non ? Pourquoi alors, $\text{[math]}$ ?

Sources de mon background : Topologie algébrique. Frédéric Paulin. ( disponible sur le net )

Ou bien, je raconte n'importe quoi ? ...

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 09/02/2018, 08h29

On a : $\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ ( en notation additive )
Par conséquent : $\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$ .
Par ailleurs, $\text{[math]}$ est un revêtement, donc un homéomorphisme local, par conséquent : $\text{[math]}$ est un homéomorphisme, et donc : $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$ .
Pour montrer : $\text{[math]}$ , il suffit de justifier pourquoi : $\text{[math]}$ .
Pourquoi alors : $\text{[math]}$ ?.
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 09/02/2018, 09h30

On a : $\text{[math]}$ est homéomorphe à $\text{[math]}$ qui lui meme est homéomorphe à : $\text{[math]}$ , et donc :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
D'où le résultat, non ?

azizovsky · 10/02/2018, 12h10

Bonjour, si tu 'as une démonstration 'intuitive: géométrique..., coupure du plan complexe, feuillets...', je suis preneur, le reste , je peut faire la connexion... , et pour la fonction $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ??? (ramification ou branchement d'ordre infini)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 10/02/2018, 13h31

Bonjour azizovsky :

Je ne sais pas si je vais raconter des inepties ... mais bon ... De toute façon, voici ce que je pense :
Le morphisme $\text{[math]}$ est un revêtement non ramifié over $\text{[math]}$ ( Par contre, over $\text{[math]}$ , il y'a le point origine $\text{[math]}$ que j'ignore comment l’interpréter par rapport à la notion de revêtements ramifiés en ce point $\text{[math]}$ , car ici, ce n'est pas comme dans l'exemple de Bosio Frédéric plus haut, parce que ici le morphisme $\text{[math]}$ ne laisse pas fixe $\text{[math]}$ ).
Bon, revenons à notre revêtement non ramifié $\text{[math]}$ , c'est un revêtement non ramifié, parce que $\text{[math]}$ un voisinage de $\text{[math]}$ , tel que : $\text{[math]}$ ( i.e : Union disjoint de $\text{[math]}$ ) avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Maintenant, comme j'ai dit au début du poste, je ne sais pas si on peut prolonger $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , pour devenir un revêtement non ramifié en $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Je cède la parole à d'autres intervenants pour clarifier pertinemment ce point.
Concernant les logarithmes $\text{[math]}$ , ce ne sont pas des revêtements ( que ce soit ramifié ou non ramifié ), mais ce sont localement des inverses à droite du morphisme $\text{[math]}$ , c'est à dire qui vérifie la relation $\text{[math]}$ localement sur un ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . En langage spécifique des revêtements ( ramifiés ou non ramifiés ), on appelle $\text{[math]}$ des sections locales en $\text{[math]}$ du revêtement $\text{[math]}$ .
Plus précisément, les ouverts locaux $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , des sections $\text{[math]}$ se mettent sous la forme : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$
Les ouverts $\text{[math]}$ tels que : $\text{[math]}$ se mettent sous la forme : $\text{[math]}$ , et on a : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ .
Par contre, je ne saisis pas bien ce que tu entends par : ramification ou branchement lié à l'infini.

Cordialement.

**Anonyme007** · 10/02/2018, 14h42

Envoyé par Anonyme007

Maintenant, comme j'ai dit au début du poste, je ne sais pas si on peut prolonger $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , pour devenir un revêtement non ramifié en $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Je cède la parole à d'autres intervenants pour clarifier pertinemment ce point.

Dans cette phrase çi dessus, j'ai raconté une grosse bêtise ... Alors, pardon ...

En fait, le prolongement $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , qui est : $\text{[math]}$ ne s'appelle pas revêtement non ramifié, mais éclatement, il me semble.
Cette notion d'éclatement apparaît beaucoup en géométrie algébrique. Je laisse alors quelqu'un d'autres mettre en évidence cette notion ( AncMath, petrifie ... ou les autres ).
Si j'ai du temps, je rédigerai un pavé qui explique cette notion à ma manière dans les prochains postes. Mais, je ne sais pas si ce que je vais dire est valide ou non.

azizovsky · 10/02/2018, 15h49

Bonjour, je vais te dire où je n'arrive pas à suivre ou à faire la connexion avec 'l'algèbre'...., par exemple la fonction $\text{[math]}$ , on peut vérifier qu'elle a une période purement imaginaire $\text{[math]}$ , une bande $\text{[math]}$ délimité par deux axes parallèle à l'axe réel de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) de largeur $\text{[math]}$ , (on peut déplacer cette bande en n'importe quelle autre on ajoutant $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ les valeurs de la fonction (transformation) $\text{[math]}$ ne change pas ), la bande $\text{[math]}$ devient le paln des $\text{[math]}$ d'où on'a enlevé l'origine des coordonnées.
les frontière supérieure et inférieure de la bande devient l'axe réel positif, on faisons une coupure suivant ce demi axe, nous pouvant dire que le bord supérieure de cette coupure correspond à la frontière inférieure de la bande et le bord inférieure de la coupure à la frontière supérieure de la bande, soit le plan $\text{[math]}$ sans origine muni de cette coupure, la fonction inverse est $\text{[math]}$ (*) est uniforme et régulière.....
on sait aussi que $\text{[math]}$
dans le cas de notre $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , nous obtenons une fonction uniforme (*), le point $\text{[math]}$ est un point de branchement ou de ramification, à savoir, on prolongeant analytiquement cette fonction autour de l'origine suivant un contour fermé $\text{[math]}$ fois..., on doit ajouter à la fonction $\text{[math]}$ ..., chaque nouveau tour donne de nouvelles valeurs de la fonction..., le point z=0 est un point de ramification infini.
comment relié cette 'pratique' au revêtement ramifié ?

azizovsky · 10/02/2018, 16h00

j'ai trouvé ça : https://www.youtube.com/watch?v=q8z0KZwOLr8 , je vais voir est ce que je peut en tirer quelque chose .

ps: j'ai consulté le tome II de Doubrovine, Novikov, Fomenko , mais pas déclic ...

**Anonyme007** · 10/02/2018, 16h52

Bonjour,
La liaison pratique de ce que tu as écrit à la notion de revêtement ramifié est ce que j'ai expliqué dans le poste numéro $\text{[math]}$ .
L'ouvert que tu désignes par $\text{[math]}$ et que tu dis que c'est la bande : $\text{[math]}$ correspond à mon ouvert $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ choisis de manière à ce que mon $\text{[math]}$ coïncide avec ta bande $\text{[math]}$ .
Les $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ sont regroupés dans ce que j'ai noté : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ ... Tu choisit $\text{[math]}$ convenable de manière à ce que mon $\text{[math]}$ correspond à tes $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ que tu as regroupés dans $\text{[math]}$ si je ne m'abuse ( le $\text{[math]}$ sans origine et sans coupure ). C'est à dire, $\text{[math]}$
Par conséquent le reste de ce que j'ai expliqué dans mon message numéro $\text{[math]}$ présente clairement la liaison algébrique avec la notion de revêtement. Quant au role du $\text{[math]}$ et de ce qui se passe autour de son voisinage, je n'ai pas encore digéré ces notions pour pouvoir te les expliquer. Pardon. Comme j'ai dit plus haut, ça a un lien avec la notion d'éclatement. J'attends la confirmation d'autres intervenants si possible je l'espère.

**slivoc** · 10/02/2018, 17h24

Envoyé par Anonyme007

On a : $\text{[math]}$ est homéomorphe à $\text{[math]}$ qui lui meme est homéomorphe à : $\text{[math]}$ , et donc :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
D'où le résultat, non ?

Bonjour,
ça fait quelque temps que je n' ai pas revu ces notions, mais tu es sure que $\text{[math]}$ a bien du sens ? ( tu pointes un espace topologique en un point qu' il ne contient pas ? ). L' égalité $\text{[math]}$ est vraie, mais juste comme ça, ces deux espaces topologiques ( pointés ou non) ne sont pas homéomorphe pour leur topologies usuelles.
Sinon le résultat, tu aurais pu l' obtenir en invoquant le fait que $\text{[math]}$ et le cercle ont même type d' homotopie et sont connexes par arcs et donc ont même groupe fondamental.

Bonne journée !

azizovsky · 10/02/2018, 18h07

Envoyé par Anonyme007

Quant au role du $\text{[math]}$ et de ce qui se passe autour de son voisinage, je n'ai pas encore digéré ces notions pour pouvoir te les expliquer. Pardon. Comme j'ai dit plus haut, ça a un lien avec la notion d'éclatement. J'attends la confirmation d'autres intervenants si possible je l'espère.

moi aussi , c'est ce $\text{[math]}$ qui je n'arrive pas à saisir avec l'exemple z-->z² ou exactement $\text{[math]}$ ...., je sais que le revêtement au dessus de $\text{[math]}$ \ $\text{[math]}$ a en générale un nombre infini de feuillet :ramification logarithmique. (déjà mentionné dans tome II que j'ai cité...), mais pour $\text{[math]}$ on 'a deux feuillets, quel rapport ou d'où sort ce $\text{[math]}$ / $\text{[math]}$ ? et pour le $\text{[math]}$ ?

**Anonyme007** · 10/02/2018, 21h13

Envoyé par azizovsky

... le point $\text{[math]}$ est un point de branchement ou de ramification, à savoir, on prolongeant analytiquement cette fonction autour de l'origine suivant un contour fermé $\text{[math]}$ fois..., on doit ajouter à la fonction $\text{[math]}$ ..., chaque nouveau tour donne de nouvelles valeurs de la fonction..., le point z=0 est un point de ramification infini.
comment relié cette 'pratique' au revêtement ramifié ?

Tu as raison sur ce point çi-dessus que tu soulèves :

La fonction logarithme complexe à un point de branchement en $\text{[math]}$ . Elle est définie ( de manière imagée ) par : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ en réalité $\text{[math]}$ vue non comme un plan complexe mais comme une surface de Riemann, qui correspond à un escalier en colimaçon dont l'axe (réduit à un point) est placé à la singularité, desservant plusieurs (voire une infinité) d'étages. Chaque étage s'appelle feuillet.

La fonction $\text{[math]}$ à valeurs sur un feuillet de la surface de Riemann est une fonction uniforme et s'appelle détermination de la fonction $\text{[math]}$ . ( de meme pour la fonction racine carré, et toutes les autres fonctions multiformes ).

Pour la fonction $\text{[math]}$ , il y'a une infinité de feuillets. Pour la fonction racine carrée : $\text{[math]}$ , il y'a seulement deux feuillets.

En d'autres termes, le fait d'avoir deux feuillets pour la fonction racine carrée et une infinité pour la fonction logarithme trouve sa signification dans ce qui suit :

D'abord, pour changer d'étages autour d'un point de branchement dans la surface Riemann de la fonction, il suffit de faire un tour complet autour du point de branchement.

Pour la fonction racine carré, si on prend un lacet autour du point de branchement $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et on imagine un point $\text{[math]}$ appartenant à ce lacet, de sorte que son image par la fonction racine carrée $\text{[math]}$ se trouve à l'étage numéro $\text{[math]}$ de la surface de Riemann, et si on fait bouger ce point $\text{[math]}$ sur le lacet dans le sens d'orientation positif par rapport à un horloge, son image par la fonction racine carrée $\text{[math]}$ , se trouvera à l'étage numéro $\text{[math]}$ . Si on fait un deuxième tour de $\text{[math]}$ sur le lacet autour du point de branchement, son image $\text{[math]}$ descendra à nouveau à l'étage numéro $\text{[math]}$ , et retrouvera donc sa valeur initiale $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ , ceci est parce que la fonction racine de carré n'a que deux feuillets dans sa surface de Riemann $\text{[math]}$ , d'où l'apparition du phénomène de périodicité : $\text{[math]}$ etc, et $\text{[math]}$ .. C'est comme si les déterminations de la fonction racines carrée appartiennent à $\text{[math]}$ .

Pour la fonction logarithme, son espace d'arrivée est une surface de Riemann qui comprend une infinité dénombrables d'étages de sorte que si on prend un lacet autour du point de branchement $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et si on imagine un point $\text{[math]}$ appartenant à ce lacet, son image par la fonction logarithme $\text{[math]}$ se trouve à l'étage numéro $\text{[math]}$ de la surface de Riemann, et si on fait bouger ce point $\text{[math]}$ sur le lacet dans le sens d'orientation positif par rapport à un horloge, son image par la fonction logarithme $\text{[math]}$ , se trouvera à l'étage numéro $\text{[math]}$ . Si on fait un deuxième tour de $\text{[math]}$ sur le lacet autour du point de branchement, son image $\text{[math]}$ ne redescendra pas cette fois çi à nouveau à l'étage numéro $\text{[math]}$ et retrouver sa valeur initiale, non, il grimpera à l'étage numéro $\text{[math]}$ et aura une autre valeur différente $\text{[math]}$ . Si on fait un troisième tour de $\text{[math]}$ sur le lacet autour du point de branchement, son image $\text{[math]}$ continuera à grimper à l'étage numéro $\text{[math]}$ , et ainsi de suite ... Si on fait un $\text{[math]}$ - ième tour de $\text{[math]}$ sur le lacet autour du point de branchement, son image $\text{[math]}$ grimpera à l'étage numéro $\text{[math]}$ ... etc, si on continue à faire tourner $\text{[math]}$ sur le lacet autour du point de branchement une infinité de fois, l'image de $\text{[math]}$ par la fonction logarithme $\text{[math]}$ ne retrouvera jamais sa valeur initial $\text{[math]}$ . Il n'y'a pas de phénomène de périodicité pour la fonction logarithme, on n'a l'impression que l'ensemble des déterminations de la fonction logarithme est $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ pour la fonction racine carré.

Tu jettes un regard sur les deux liens suivants : https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_branchement , http://serge.mehl.free.fr/anx/surface_R.html pour comprendre d'où j'ai tiré tout ça tout à l'heure.

**Anonyme007** · 10/02/2018, 21h16

Envoyé par slivoc

Bonjour,
ça fait quelque temps que je n' ai pas revu ces notions, mais tu es sure que $\text{[math]}$ a bien du sens ? ( tu pointes un espace topologique en un point qu' il ne contient pas ? ). L' égalité $\text{[math]}$ est vraie, mais juste comme ça, ces deux espaces topologiques ( pointés ou non) ne sont pas homéomorphe pour leur topologies usuelles.
Sinon le résultat, tu aurais pu l' obtenir en invoquant le fait que $\text{[math]}$ et le cercle ont même type d' homotopie et sont connexes par arcs et donc ont même groupe fondamental.

Merci slivoc.

Pourquoi $\text{[math]}$ et le cercle $\text{[math]}$ ont meme type d'homotopies ?
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 11/02/2018, 07h40

Envoyé par slivoc

le fait que $\text{[math]}$ et le cercle ont même type d' homotopie et sont connexes par arcs et donc ont même groupe fondamental.

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont meme type d'homotopie parce que $\text{[math]}$ est un rétracte par déformation de $\text{[math]}$ .
J'ai vu ça ici tout à l'heure : https://webusers.imj-prg.fr/~nicolas...und%26Revt.pdf , page : $\text{[math]}$ .

**slivoc** · 11/02/2018, 07h45

Tu peux prendre $\text{[math]}$ l' injection canonique ( en voyant $\text{[math]}$ comme S1 X R*+ ) et $\text{[math]}$ la projection canonique. Et montrer que les composée des deux ( dans les 2 sens ), sont bien homotopes aux applications identités des bons espaces.

**Anonyme007** · 11/02/2018, 07h51

Oui, c'est vrai. Merci slivoc.

Je n'ai pas bien compris le paragraphe suivant :

Envoyé par slivoc

L' égalité $\text{[math]}$ est vraie, mais juste comme ça, ces deux espaces topologiques ( pointés ou non) ne sont pas homéomorphe pour leur topologies usuelles.

Pourquoi $\text{[math]}$ est vraie si ce n'est parce que leurs espaces sous jacents sont homéomorphes ?

Merci d'avance.

**slivoc** · 11/02/2018, 08h12

Deux espaces topologiques pointés peuvent avoir des groupes fondamentaux isomorphes sans etre homéomorphes. Prends un singleton et le plan usuel, ou la droite réel. Ils ne sont pas homéomorphes mais leur groupes fondamentaux sont bien isomorphes puisque triviaux.

**Anonyme007** · 11/02/2018, 08h27

Oui, mais pourquoi ici : $\text{[math]}$ d'après toi ? Quel argument utilises tu?

**minushabens** · 11/02/2018, 08h32

bonjour, S1xR c'est un cylindre, mais (0,0) n'est pas dedans, du coup je ne comprends pas ce que tu veux dire. Le groupe fondamental du cylindre c'est le même que celui de S1 et c'est le même que celui du plan privé d'un point, etc.

**Anonyme007** · 11/02/2018, 08h43

Bonjour,

Envoyé par minushabens

bonjour, S1xR c'est un cylindre, mais (0,0) n'est pas dedans, du coup je ne comprends pas ce que tu veux dire. Le groupe fondamental du cylindre c'est le même que celui de S1 et c'est le même que celui du plan privé d'un point, etc.

Voilà donc, tu utilises l'argument qui se base sur la notion d'équivalence homotopique, et non sur la notion d'homéomorphisme qui dépend de la topologie choisie.

en tous cas, merci.
P.S : Oui, $\text{[math]}$ n'est pas dedans, alors, je ne comprends pas quel bagage théoriques utilises Bosio Frédéric dans le premier post de ce fil pour dire que au voisinage $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , le morphisme $\text{[math]}$ ressemble à un quotient : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

azizovsky · 11/02/2018, 09h00

Bonjour, un grand merci Anonyme007, je crois qu' il ne faut faut pas oublier le GROS mot de l'algèbre à ISOMORPHISME PRES .

Revetement ramifié.

Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

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Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

Re : Revetement ramifié.

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Re : Revetement ramifié.

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