Relation entre un polynôme et son dérivé

[invite05977514]

Soit P un polynôme non constant et n son degré.
Si P'|P alors on peut écrire nP = (X − a)P'
avec a ∈ K car deg P'= deg P − 1.

Je voudrai bien savoir l'explication s'il vous plait et merci <3
-----

[minushabens]

qu'est-ce qui te semble obscur? Le fait que degP'=degP-1 ? Le fait que le facteur (X-a) soit unitaire?

[gg0]

Bonjour Chronus.

Tu peux le montrer toi-même, en écrivant l'hypothèse "P'|P", puis raisonnant sur les degrés pour écrire le quotient, enfin en comparant les termes de degré maximum dans les deux membres.
Fais-le, et, si tu bloques à un moment, en ayant bien voulu suivre mes indications, tu présentes ici ce que tu as fait et on t'aidera à finir.

Cordialement.

[invite05977514]

c'est fait , mais j'aimerai bien savoir pourquoi a t-on comparé seulement le coefficient dominant ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben ... ça suffit. Et le n apparaît en dérivant x^n, non ?

[invite57a1e779]

Le seul cas ennuyeux est celui où le degré de P est multiple de la caractéristique…

[gg0]

Effectivement,

mais à la lecture du message #1, j'ai supposé que le polynôme est implicitement sur R ou C. Tu me fais douter.

Cordialement

[invite57a1e779]

En fait, j'essayais de voir quelle difficulté pouvait se cacher dans ce résultat simplissime de divisibilité.