Espace Vectoriel

[skandertrifa]

Bonjour ,

j'ai un problème comment montrer que deux sous espaces vectoriels sont supplémentaires
Par exemple dans cette exercice :
Soit p un endomorphisme de R^3 verifiant que pour tout : u qui appartient à R^3 on a:

on pose : avec id:l'identité de R^3.
(a) Montrer que f est un endomorphisme . C'est fait !
(b)Montrer que

J'ai montré que Kerf et Imf sont deux Sous espaces vectoriels sans passer par le vect (la méthode classique )
Et j'ai montrer que par double inclusion => La somme est directe
On sait aussi que
je ne sais pas maintenant comment montrer l'autre sens ( Sans passer par la dimension , car on n'a pas vu ça en classe)
il faut montrer que pour u(x,y,z) de R^3 , u=a+b ; avec a appartient à Kerf , b appartient Imf ??

Merci d'avance .
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[Anonyme007]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part :

:
.
non ?

Cordialement.

[skandertrifa]

Merci pour votre réponse , c'est juste monsieur , mais comment vous avez passé de Im(p) à Ker(id-p)?

[Anonyme007]

Bonjour,

Par double inclusion, tu montre que : et que .
Alors, montrons d'abord, puis, on passe à : .

Soit :
Alors : .
Or, ( Tu poursuis le calcul jusqu'à la fin, et tu conclus le résultat ).
Par conséquent : .

De meme pour l'inclusion : .
Tu considères : :
Pourquoi ?

Voilà.

[A voir en vidéo sur Futura]