Re : Git

**AncMath** · 14/02/2018, 15h03

La dimension (de Krull) d'un anneau est un truc absolu. Ça ne dépend pas d'un anneau de base. Ca n'est pas la dimension de B sur A, c'est la dimension de B, tout court.

**Anonyme007** · 14/02/2018, 15h14

Merci beaucoup.
Tu peux s'il te plaît me dire comment calcule-t-on la dimension de Krull de : $\mathrm{dim} K[X]_{(X)}$ ?

**AncMath** · 14/02/2018, 15h22

Mais je te l'ai deja dit ! Pour une variété affine $X=\text{Spec}A$ la dimension de $X$ est la même que celle de $A$ et pour un ouvert non vide d'une variété algébrique irréductible sa dimension est celle de la variété.
Sinon de manière purement algébrique la dimension de $k[X]$ est 1, par division euclidienne, et il y a bijection entre les ideaux premiers de $A$ et ceux d'un localisé de $A$ ne rencontrant pas la partie vis a vis de laquelle on localise. Donc $\text{dim} k[X, X^{-1}]=1$ .
Autre façon de voir les choses encore pour une $k$ -algèbre de type finie et intègre sa dimension de Krull est égal au degré de transcendance de son corps de fraction sur $k$ qui vaut clairement 1.

**Anonyme007** · 14/02/2018, 15h32

Oui, c'est vrai. Merci beaucoup.
Une autre question apparemment stup*** :
Quels sont les idéaux premiers de $K[X]$ qui ne rencontrent pas $S = K[X] \backslash (X) = K[X] \backslash (X-0)$ , Ce sont les idéaux principaux $I = (P)$ avec $P$ unitaire vérifiant : $P(0) = 0$ , non ? et donc, comment calculer la dimension de $K[X]_{(X)}$ à l'aide de ces idéaux ? Pardon si ma question te semble basique et stupide. J'ai appris ces notions seul à la maison, je n'ai pas appris ça à l'université.

**AncMath** · 14/02/2018, 15h38

Il n'y a pas de question stupide. Seulement il est un peu étrange de poser des questions relativement sophistiquées (e.g sur la catégorie des motifs numériques) pour finir sur des trucs basiques qu'on apprend dans les premiers jours où on s’intéresse à la géométrie.

Quand même si tu as un tant soit peu de familiarité avec ces objets (ça fait quand même des mois que je te vois parler de géométrie algébrique !) tu devrais etre capable de répondre toi même à cette question. Par ailleurs tu as l'air de confondre deux choses le localisé $A_{\mathfrak{p}}$ où $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $A$ et le localisé $A_f$ où $f$ est un élément de $A$ .

**Anonyme007** · 14/02/2018, 15h41

Alors, il n'y'a qu'un seul idéal qui ne rencontrent pas $K[X] \backslash (X)$ , c'est $(X)$ , non ?
Donc, il y'a seulement une filtration croissante d'idéaux premiers : $(0) \subset (X) \subset K[X]$ , et donc, son supremum est la longueur de cette chaîne qui est $1$ représente la dimension de $K[X]$ .

edit : Croisement avec ton message.

**Anonyme007** · 14/02/2018, 15h44

Envoyé par AncMath

Il n'y a pas de question stupide. Seulement il est un peu étrange de poser des questions relativement sophistiquées (e.g sur la catégorie des motifs numériques) pour finir sur des trucs basiques qu'on apprend dans les premiers jours où on s’intéresse à la géométrie.

Tu es cruel, tu ne me soutiens jamais dans ce que fais.

**AncMath** · 14/02/2018, 15h46

On ne cherche de toute façon PAS la dimension de $k[X]_{(X)}$ le localisé par rapport à l’idéal $(X)$ , mais celle de $k[X]_{X}$ ou $k[X, X^{-1}]$ le localisé par rapport à l'élément $X$ . L'un est l'anneau des germes de fonction en l'origine, c'est un anneau local, l'autre est l'anneau des fonctions définies sur le complémentaire de l'origine, et il n'est bien pas local.
Il se fait que ces anneaux ont de toute façon la même dimension : 1.

**AncMath** · 14/02/2018, 15h47

Envoyé par Anonyme007

Tu es cruel, tu ne me soutiens jamais dans ce que fais.

Ben, ta façon de "faire" des maths me laisse vraiment perplexe. On dirait justement que tu n'en fais pas en fait, tu te contentes de manipuler des mots et des notations au petit bonheur la chance.

Mais peut on arrêter de digresser et se focaliser sur le sujet ?

**Anonyme007** · 14/02/2018, 15h55

Ah oui, c'est vrai, c'est : $K[X]_X$ et non $K[X]_{(X)}$ , avec : $K[X]_X = \{ \ \dfrac{P}{X^{k}} \ | \ k \geq 1 \ \}$ .
ça fait beaucoup de temps que je n'ai pas manier tout ça. Alors, quels sont les idéaux premiers de $K[X]$ : $I = (P)$ avec : $P$ unitaire tel que : $(P) \cap \{ X^k \}_{ k \geq 1 } = \empty$ ? C'est l'idéal $I = (P)$ avec : $P^{(k)} (0) = 0 \ , \ \forall k \geq 1$ , non ? C'est à dire : $I = (P) = K$ , non ?
Merci d'avance.

**AncMath** · 14/02/2018, 15h57

Quels sont les idéaux premiers de k[X] ? Commençons même par encore plus simple, quels sont les idéaux premiers de k[X], avec k algébriquement clos ?

**Anonyme007** · 14/02/2018, 16h04

Envoyé par AncMath

Quels sont les idéaux premiers de k[X] ? Commençons même par encore plus simple, quels sont les idéaux premiers de k[X], avec k algébriquement clos ?

Ce sont les idéaux principaux de $K[X]$ engendrés par des polynômes unitaires irréductibles, non ?.

**AncMath** · 14/02/2018, 16h19

Tu peux donner des exemples ?

**Anonyme007** · 14/02/2018, 16h42

Envoyé par Anonyme007

Ah oui, c'est vrai, c'est : $K[X]_X$ et non $K[X]_{(X)}$ , avec : $K[X]_X = \{ \ \dfrac{P}{X^{k}} \ | \ k \geq 1 \ \}$ .
ça fait beaucoup de temps que je n'ai pas manier tout ça. Alors, quels sont les idéaux premiers de $K[X]$ : $I = (P)$ avec : $P$ unitaire tel que : $(P) \cap \{ X^k \}_{ k \geq 1 } = \empty$ ? C'est l'idéal $I = (P)$ avec : $P^{(k)} (0) = 0 \ , \ \forall k \geq 1$ , non ? C'est à dire : $I = (P) = K$ , non ?
Merci d'avance.

Tu peux me corriger s'il te plaît ça ? Je n'ai pas le temps, j'ai encore une autre question que j'aimerais te poser sur les quotients :
Voilà l'autre question :
Comment calcule -t-on la dimension de Krull de $K[X,Y] / (XY)$ ?
Alors, là je sais que tu vas me dire il suffit de voir que les idéaux premiers de $K[X,Y] / (XY)$ sont en correspondance bi-univoque avec les idéaux premiers de $K [X]$ contenant $(XY)$ , alors je ne sais pas comment déterminer ces derniers.
On fait d'abord par rapport au localisé, puis on passe au quotient.

Merci d'avance.

**AncMath** · 14/02/2018, 16h46

Envoyé par AncMath

Tu peux donner des exemples ?

??? $\ \ \ \ \ \$

**Anonyme007** · 14/02/2018, 16h50

S'il te plaît, j'aimerais faire plus vite, et ne pas m'attarder sur ce genre de questions. C'est comme si on fait du pinaillage. et puis tu sors complètement du sujet.

**AncMath** · 14/02/2018, 16h52

Je vais plutôt quitter ce fil en fait.

**Anonyme007** · 14/02/2018, 16h53

Qu'est ce que j'ai dit de mal pour que tu quittes le fil ?

**AncMath** · 14/02/2018, 17h13

Tu n'as rien dit de mal, mais sembles déterminé à ne pas réfléchir et faire des mathématiques. Ça ne m’intéresse pas.

**Anonyme007** · 14/02/2018, 17h23

Je suis un peu plus motivé à résoudre la question que je t'ai posé. Je t'ai montré ce que j'ai fait pour l'établir, mais toi tu ne me corriges pas directement et tu ralentis trop la discussion d'un seul coup en déviant vers d'autres sujets, non, tu me corriges juste ou je fais l'erreur directement sans s'attarder sur d'autres ramifications. On se concentre juste sur le point où on est. Quant on le finit, on pourra passer à d'autres sujets si tu en as. et puis j'ai pleins d'autres questions sur les GIT quotients que j'ai à te parler et si on va à ce rythme on ne finira jamais. Ne le prends pas mal. C'est juste ce que je ressens au fond de moi que j'aimerais dévoiler.

**Anonyme007** · 15/02/2018, 18h44

Bonjour,

Est ce que quelqu'un s'il vous plaît pourrait m'aider à la question suivante :

C'est pour établir que le groupe additive $\mathbb{G}_a$ n'est pas géométriquement réductive :
Par définition, un groupe algébrique affine $G$ est géométriquement réductif si pour toute représentation linéaire : $\rho \ : \ G \to \mathrm{GL} (V)$ de dimension finie et $\forall v \in V^G \ \ \exists f \in \mathcal{O} (V)^G$ un polynôme non constant, homogène $G$ - invariant, tel que : $f(v) \neq 0$ .

Ma question est de trouver une représentation linéaire : $\rho \ : \ \mathbb{G}_a \to \mathrm{GL}_2$ et un élément $v \in \mathbb{A}^2$ , $G$ - invariant, telles que : pour tout polynôme $f$ à deux variables homogène non constant $G$ - invariant vérifie : $f(v) = 0$ .

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 15/02/2018, 18h53

Si on prend pour représentation celle définie par : $\rho \ : \ (t,(x,y)) \to (tx,ty)$ et $v = (0,0)$ , est ce que ça marche ?
$(0,0)$ est $\mathbb{G}_a$ - invariante.
Comment établir que tout polynôme $f$ qui est $\mathbb{G}_a$ - invariant par cette action vérifie : $f(0,0) = 0$ ?
D'abord quels sont ces polynômes ?
Merci.

edit : Tout polynôme à deux variables homogène non constant s'annule en (0,0), non ? D'où le résultat, non ?

**Anonyme007** · 16/02/2018, 12h59

@AncMath, j'ai vraiment besoin de ton aide.

Si on a un morphisme rationnel $\varphi \ : \ X = \mathbb{P}^n \to X//G = \mathbb{P}^{n-1}$ défini par : $\varphi ([x_0 : \dots : x_n ]) = [x_0 x_1 : \dots : x_0 x_n]$ ( i.e : la flèche de $\varphi$ est en pointillés qui signifie que le morphisme est rationnel ).
$G = \mathbb{G}_a$ définit l'action sur $X = \mathbb{P}^n$ par : $t.[x_0 : x_1 : \dots : x_n] = [t^{-1} x_0 : tx_1 : \dots : tx_n ]$
Pourquoi le nullcone $N$ qui est le sous schéma fermé de $\mathbb{P}^n$ défini par l'idéal homogène : $R(\mathbb{P}^{n})_{+}^{G} \subset R(\mathbb{P}^n )$ avec : $R(\mathbb{P}^n )_+ = \displaystyle \bigoplus_{r>0} R(\mathbb{P}^n )_r = \displaystyle \bigoplus_{r>0} k[x_0 , \dots , x_n ]_r$ dans lequel le morphisme rationnel $\varphi$ n'est pas défini, est défini par : $N = \{ \ [x_0 : \dots : x_n ] \in \mathbb{P}^n \ | \ x_0 = 0 \ \ \mathrm{or} \ \ (x_1 , \dots , x_n ) = (0 , \dots , 0 ) \ \}$ ?
Je précise que : $R( \mathbb{P}^n ) = k[x_0 , \dots , x_n ]$ et $R ( \mathbb{P}^n // G )^G = k[x_0 x_1 , \dots , x_0 x_n ] = k [y_0 , \dots , y_{n-1} ] = R( \mathbb{P}^{n-1} )$

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 17/02/2018, 12h50

Bonjour,

La réponse est simple en fait :
Pour ce qu'est la définition de $\mathrm{Bs} (L)$ avec $L$ un faisceau inversible, vous pouvez jeter un regard ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...e-hodge-2.html
Alors, on a :
$N = \mathrm{Bs} ( L ) = Z(x_0x_1) \cap \dots \cap Z(x_0x_n ) = Z(x_0) \cup \displaystyle \Big( \bigcap_{i=1}^{n} Z(x_i) \displaystyle \Big)$
$= \{ \ [x_0 : \dots : x_n ] \in \mathbb{P}^n \ | \ x_0 \ \mathrm{or} \ (x_1 , \dots , x_n ) = (0 , \dots , 0 ) \ \}$ ,
non ? Mais je ne sais de quel $L$ il s'agit en fait, pouvez vous svp me dire de quel $L$ il s'agit exactement ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 17/02/2018, 13h36

Théoriquement : $L = \varphi^* \mathcal{O}(1)_{ \mathbb{P}^{n-1} }$ , mais explicitement, quel est $L$ en fonction des $\mathcal{O}(d)$ ? Peux -t-on dire tout simplement que : $L = \mathcal{O}_{ \mathbb{P}^{n} } (1)$ , parce que normalement $\mathbb{P}^n$ dans $\varphi \ : \ \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^{n-1}$ est muni de son faisceau des hyperplans $\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^{n}} (1)$ , non ?
Merci d'avance.