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Résolution et fibré vectoriel

  1. #1
    petrifie

    Résolution et fibré vectoriel

    Bonjour,
    j'ai une question très basique à propos du papier de Bernstein, Ge'lfand et Gel'fand intitulé "Algebraic bundles over P^n and problems in linear algebra".

    Soit E un espace vectoriel et A l'algèbre alternée sur E, muni d'une graduation (les éléments de E sont de degré -1), en particulier les A-modules de dimension fini V admettent une décomposition .

    Soit P = P(E). On définit un fibré vectoriel sur P, défini comme .

    Je ne comprends pas grand chose à la ligne suivante du papier, qui dit "a section of is a homogenous function with degree of homogenity in value in , and we define the differential by ".

    Pour moi une section est un élément de la forme avec f homogène de degré -i et . Donc je ne comprends pas la description des sections et encore moins la différentielle. Merci d'avance.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    AncMath

    Re : Résolution et fibré vectoriel

    Est ce que tu vois comment décrire les sections de comme exactement les fonctions homogènes (qui verifient ) à valeur dans le corps de base, sur de degré j ?
    Maintenant une section de c'est simplement une section de tensorisé par un element de et on peut identifer ça canononiquement aux fonctions sur à valeur dans en identifiant à pour .
    Au passage doit bien être et pas ce que tu as écrit
    Maintenant si est une telle section, on la voit comme une fonction homogène de degré i sur à valeur dans . Du coup pour , est un element de puisque agit sur et , et cette fonction est homogène de degré (i+1), . Autrement dit est bien une section de .

    Bien sur il faut voir un espace vectoriel comme le fibré trivial sur avec le morphisme structural, mais ce genre d'abus de notation est malheureusement courant.
    Dernière modification par AncMath ; 23/02/2018 à 08h56.

  4. #3
    petrifie

    Re : Résolution et fibré vectoriel

    Ok oui je voyais bien comme le fibré trivial (). Je vais lire ce que tu as écrit. Pour bien comprendre je me rends compte que j'ai aussi besoin d'une réponse à une question très bête : comment marche exactement la décomposition ? Par exemple si on a un espace vectoriel avec une action du tore là je vois comment faire : on diagonalise l'action et l'action est juste donné par un vecteur de . Mais ici déjà un A-module je vois pas exactement à quoi ça ressemble, où disons je vois mal comment extraire un poids. Par exemple pour le poid naturel est un élément . Mais ici qu'est ce qu'on fait ?

  5. #4
    petrifie

    Re : Résolution et fibré vectoriel

    AncMath, j'ajoute que tes explications sont très claires, je crois que j'ai compris (modulo cette histoire de décomposition de V en somme directe).

  6. #5
    AncMath

    Re : Résolution et fibré vectoriel

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    je me rends compte que j'ai aussi besoin d'une réponse à une question très bête : comment marche exactement la décomposition ?
    Je ne comprend pas, ton est un - module. J'imagine que par hypothèse c'est un module gradué.

  7. #6
    petrifie

    Re : Résolution et fibré vectoriel

    Bon je pense que j'ai compris : c'est juste la définition habituelle d'un A-module gradé quand A est gradé. Je me sens un peu idiot mais encore une fois merci beaucoup pour les explications !

    Edit : nos messages se sont croisés !

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