Résolution et fibré vectoriel

[invite5357f325]

Bonjour,
j'ai une question très basique à propos du papier de Bernstein, Ge'lfand et Gel'fand intitulé "Algebraic bundles over P^n and problems in linear algebra".

Soit E un espace vectoriel et A l'algèbre alternée sur E, muni d'une graduation (les éléments de E sont de degré -1), en particulier les A-modules de dimension fini V admettent une décomposition .

Soit P = P(E). On définit un fibré vectoriel sur P, défini comme .

Je ne comprends pas grand chose à la ligne suivante du papier, qui dit "a section of is a homogenous function with degree of homogenity in value in , and we define the differential by ".

Pour moi une section est un élément de la forme avec f homogène de degré -i et . Donc je ne comprends pas la description des sections et encore moins la différentielle. Merci d'avance.
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[AncMath]

Est ce que tu vois comment décrire les sections de comme exactement les fonctions homogènes (qui verifient ) à valeur dans le corps de base, sur de degré j ?
Maintenant une section de c'est simplement une section de tensorisé par un element de et on peut identifer ça canononiquement aux fonctions sur à valeur dans en identifiant à pour .
Au passage doit bien être et pas ce que tu as écrit
Maintenant si est une telle section, on la voit comme une fonction homogène de degré i sur à valeur dans . Du coup pour , est un element de puisque agit sur et , et cette fonction est homogène de degré (i+1), . Autrement dit est bien une section de .

Bien sur il faut voir un espace vectoriel comme le fibré trivial sur avec le morphisme structural, mais ce genre d'abus de notation est malheureusement courant.

[invite5357f325]

Ok oui je voyais bien comme le fibré trivial (). Je vais lire ce que tu as écrit. Pour bien comprendre je me rends compte que j'ai aussi besoin d'une réponse à une question très bête : comment marche exactement la décomposition ? Par exemple si on a un espace vectoriel avec une action du tore là je vois comment faire : on diagonalise l'action et l'action est juste donné par un vecteur de . Mais ici déjà un A-module je vois pas exactement à quoi ça ressemble, où disons je vois mal comment extraire un poids. Par exemple pour le poid naturel est un élément . Mais ici qu'est ce qu'on fait ?

[invite5357f325]

AncMath, j'ajoute que tes explications sont très claires, je crois que j'ai compris (modulo cette histoire de décomposition de V en somme directe).

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

je me rends compte que j'ai aussi besoin d'une réponse à une question très bête : comment marche exactement la décomposition ?

Je ne comprend pas, ton est un - module. J'imagine que par hypothèse c'est un module gradué.

[invite5357f325]

Bon je pense que j'ai compris : c'est juste la définition habituelle d'un A-module gradé quand A est gradé. Je me sens un peu idiot mais encore une fois merci beaucoup pour les explications !

Edit : nos messages se sont croisés !