Nombres Premiers et Riemann

[Gabriel]

Bonjour.

Nous savons que les zéros de la fonction zeta de Riemann sont liés à la distribution des nombres premiers parmi les nombres entiers, grâce à la fonction de Tchebychev.

Lorsqu'on calcule le nombre de Nombres Premiers, Pi(x) inférieurs ou égal à x, et que l'on compare avec la fonction de Gauss, x/ln(x) , on constate que les valeurs données par Gauss sont toujours supérieures à Pi(x).

x Pi(x) Gauss = x/lnx Surestimation de Gauss
10 4
1.000 168
10^8 5.761.455
10^10 455.052.511 455.055.614 754
10^20 2.220.819.602.560.918.840 223.744.644

Ces calculs semblent indiquer que Pi(x) est TOUJOURS inférieur à x/ln(x)

Et pourtant, le mathématicien anglais Littlewood, a démontré en 1914, que
[x/ln] - Pi(x) s'annule une infinité de fois !

Y a t'il une relation mathématique entre les zéros de la fonction zeta de Riemann et les zéros de la fonction [x/ln] - Pi(x) ?
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[ansset]

Il me semble que le "théorème des nb premiers" a été démontré, à savoir que
tend vers 1.
dans ton post tu cites 4 valeurs, est ce suffisant pour en déduire une infériorité systématique ?
et même si c'était le cas ( je n'en sais rien ) cela ne changerait rien à la limite.

mais il se peut que je ne réponde pas à ta question.
Cdt

[Gabriel]

Merci ansset pour ta réponse.

Dans mon post, j'avais extrait quelques valeurs d'un article écrit par Andrew Granville.

Je constate que la suite x.sinx oscille infiniment avec des oscillations de plus en plus grandes ...

[azizovsky]

Bonjour, si je me rappelle bien, même Riemann a obtenu un membre dans ses équations qui oscille ..., si c'est x.sin(x), je ne crois pas qu'il va rater ..., je vais essayer de trouver le pdf ....

dessin de quelques zéro :


https://www.wolframalpha.com/input/?...(2)))%5E(1%2F2))

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

https://www.wolframalpha.com/input/?...(2)))%5E(1%2F2))

[azizovsky]

Enfin, je l'ai trouvé : page 38 , Figure 6. Graphe de la différence entre π(x) et l’approximation
de Riemann fait avec Matlab

https://jfresan.files.wordpress.com/...de-riemann.pdf

[Gabriel]

Merci azizovski pour tes recherches.

Sur ce graphe on voit que Pi(x) - Riemann (x) oscille avec des oscillations aléatoires, de plus en plus grandes, tout en restant alignée avec l'axe des abscisses.

Contrairement à Pi(x) - Gauss(x) qui s'éloigne de l'axe des abscisses