Fractales physique

[mayaG]

Bonjour,

Je ne sais pas trop si je suis au bon endroit ou si m'a question a déjà été posé par avance mais je m'en excuse par avance; c'est la première fois pour moi sur un forum.

Comme l'intitulé le présente m'a question est sur les fractales. Voila j'ai lu pas mal de choses dessus et je n'ai pas le niveau mathématique pour tout comprendre, mais si on utilisait les fractals pour calculer des longueurs ( c'est le cas d'un livre qui commence par : quel est la taille de la cote de la bretagne; je ne me rappel plus l'auteur), il serait possible de dire que certaines longueurs qui peuvent finis sont en faites infini, alors pourquoi ce n'est pas de toute les longueurs ? Et si les longueurs ou du moins certaines sont en faites infinis, comment peut-on utiliser de si énorme approximation en physique et que ça "fonctionne" ?

Merci à tous ceux qui auront une réponse ou un début de réponse, cordialement, MG
-----

[Médiat]

Bonjour,

Imaginez que vous marchiez sur une droite avec des pas de 1 m, et que vous fassiez 10 pas, sur le chemin du retour, vous faites des pas de 10 cm, vous allez en faire 100, et quel que soit la taille de vos pas, le produit (nombre de pas) x (longueur d'un pas) restera le même (noté N.L ci dessous).

S vous faites la même chose sur un cercle, c'est un peu plus compliqué car le produit N.L change à chaque fois, il possède néanmoins une propriété intéressante : quand L tend vers 0, N.L tend vers une limite.

Pour des formes encore plus compliquée, les fractales, N.L tend vers l'infini. Le cas de la côte de Bretagne est (presque) de ce type, imaginez que vous longiez cette côte (quid des vagues ???) d'abord avec votre pas normal, puis en longeant les plus petits rochers, puis en longeant le moindre grain de sable, puis .... (mais on bute rapidement contre certaines contraintes physiques)

[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

La notion de longueur d'un chemin dépend de la nature du chemin. Ce peut être un fractal (sur plusieurs ordres de grandeurs) ou non.

Par exemple si on prend deux points particuliers, deux sommets qui se voient l'un l'autre, le chemin pris par la lumière pour aller de l'un à l'autre n'est pas considérée comme un fractal. Et en plus sa longueur ne sera pas mesurée petit bout par petit bout en suivant le chemin, mais par la durée de transit de la lumière entre les deux points. Beaucoup de distances dans les expériences en physique sont mesurées ainsi, et la précision possible n'est pas affectée par ce qui affecte les chemins fractals.

Cela s'applique aux géomètres pour baliser des terrains, prévoir des travaux, etc. Ils plantent des «clous» et mesurent non pas la ligne qui limite le terrain, mais la distances entre clous, et ce par des visées optiques. Les frontières entre pays, etc., sont définies ainsi, non par des lignes (qui seraient fractales) mais par une série de points bien identifiés et des distances (et angles) mesurées optiquement.

Les côtes ne sont pas des notions «artificielles», ce sont des lignes créées par la nature, et elles sont fractales. Ce qui signifie que si on cherche à en mesurer la longueur en posant des points de repère précis, et en mesurant la distance entre jalons voisins par optique. La longueur totale mesurée, somme de toutes les distances entre voisins, dépendra de la quantité de points. Dire que c'est un fractal signifie que la longueur totale mesurée croît avec la quantité de jalons, sans qu'on puisse y trouver une tendance qui permettrait de parler «d'une» longueur.

Et il y a des limites pratiques, qui font que l'idée de chemin à mesurer perd son sens. Mettre des jalons tous les mètres est déjà difficile (mais peut se faire sur des photos aériennes), mais tous les millimètres? Tous les microns? Suffit donc que l'aspect fractal couvre les longueurs entre, disons, le kilomètre et ces échelles pour qu'on ne puisse même plus parler d'un chemin suffisamment précisément.

[gg0]

C'est amusant ces légendes urbaines qui se répètent sur les fractales (côte de Bretagne) et le chaos (papillon du golfe du Mexique).

Pour la côte de Bretagne, il ne peut s'agir d'une fractale (objet mathématique), mais seulement d'une image sur la mesure d'une courbe. En dessous de l'échelle du km, la côte n'est plus clairement définie à cause des fleuves (où est la limite entre la berge du fleuve et la côte ?), des ports et autres installations humaines, et des marées. sans parler de la limite : faut-il compter Nantes et le Mont St Michel ? Donc utiliser des cartes à différentes échelles pour donner une image est correct, parler de la côte de la Bretagne comme d'une fractale est le plus sûr moyen de noyer le poisson.

@MayaG : si ta question est sur l'utilisation des fractales en physique, c'est bien évidemment sur le forum physique qu'il faut la poser (demande à un administrateur de la déplacer). Du point de vue mathématique, c'est simple. Certaines courbes ont des longueurs finies, d'autre non. Mais évidemment, les deux ensemble ne sont pas possibles. Tu mélanges fortement ce que tu as vu (et pas correctement lu).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sleinininono]

je me permets de demander une précision parce que je trouve la question intéressante.
On a donc des formes qui n'ont pas de limite de périmètre quand on prend un pas petit et d'autres oui? pourquoi cela? avez vous un exemple d'une forme qui n'aurait pas de limite de périmètre?

merci

[Amanuensis]

avez vous un exemple d'une forme qui n'aurait pas de limite de périmètre?

Les mathématiques en fournissent une collection, voir par exemple le flocon de Koch.

Il n'y a pas d'application de ce genre d'abstraction en sciences expérimentales (physique, biologie, géographie).

Par contre l'usage du terme pour des cas, eux bien expérimentaux, de dépendance de la notion de longueur à l'ordre de grandeur du détail, et ce sur plusieurs ordres de grandeur (mais pas une infinité, comme en maths), est courante, et les côtes sont de bons exemples (on peut arriver à des définitions précises).

[pm42]

Oui. Tu peux aussi faire une recherche sur "Fractale" et voir notamment https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrot
L'animation sur l'autosimilarité donne une bonne idée.

[sleinininono]

évidemment je connais ces ensembles très connu dans le milieu mais je ne vois absolument pas le lien avec mes cours de maths. Notamment, si j'essaye de voir un lien avec un cours d'intégration théorique, en générale si c'est intégrable une fonction n'a qu'une valeur d'intégrale, qui tend à mesure que l'on prend des boites d'intégration de plus en plus petite

[pm42]

Il y a pas mal de notions en maths qui sont basées sur le fait d'approcher une courbe quelconque par des fonctions linéaires ou polynomiales. C'est le cas de la dérivation, de l'intégrale de Riemann, des développements limités, etc.
Et à chaque fois, il faut bien sur convergé.

Dans le cas des fractales en question, tu n'auras pas de convergence.

[Resartus]

Bonjour,
Bien évidemment, les "inventeurs" des divers types d'intégration ont choisi des définitions qui donnent une valeur unique, quand elle existe. Si ce n'est pas le cas, ils préfèrent considérer que la fonction n'est pas intégrable….

en générale si c'est intégrable une fonction n'a qu'une valeur d'intégrale, qui tend à mesure que l'on prend des boites d'intégration de plus en plus petite

Par ailleurs, les problèmes de divergence qu'on peut avoir avec la longueur d'une courbe, se posent moins avec l'aire qu'elle englobe
Les grecs avaient déjà pris conscience de la difficulté : pour calculer pi comme limite, ils utilisaient non pas le périmètre, mais l'aire de polygones réguliers dont le nombre de coté augmente….(on attribue ces calculs à Euclide, mais il semblerait que c'est antérieur)

[mayaG]

Salut,

Déjà merci à tous d'avoir pris le temps de me répondre !

Ma question se trouve ici car elle a été déplacé gg0 et je sais pas vraiment la re-déplacer x)


Peut -etre que ma question est mal formulé ou que je n'ai pas totalement compris vos réponse mais ma question est plus théorique que pratique, Amanuensis dit : "Dire que c'est un fractal signifie que la longueur totale mesurée croît avec la quantité de jalons, sans qu'on puisse y trouver une tendance qui permettrait de parler «d'une» longueur." Ma question est donc, si on chercher à mesurer la longueur d'une table, et qu'on utilisait pour cela des jalons toujours plus petits alors est-ce qu'on trouverai une longueur qui tend vers l'infini (disons à une échelle microscopique)?

[gg0]

Bonjour MayaG.

C'est une expérience courante que lorsqu'on mesure les longueurs sur des objets courants (ta table par exemple), la taille de l'instrument de mesure ne joue pas directement (*) : que tu mesures avec un double décimètre ou avec un triple mètre ne change rien au résultat. Les physiciens savent que la notion de longueur perd son sens aux petites échelles (angström) car la dimension des atomes est une notion qui n'est pas le résultat d'une mesure.
Mais je vais te faire un gros reproche : Tu veux parler de fractales, notion mathématique précise, et tu parles de longueur d'une table, objet concret, pas mathématique. D'ailleurs, des courbes non fractales (courbe de Peano, spirales) ont une longueur infinie. La notion de fractale n'est pas liée à cette question de longueur.

Je ne sais pas quel est ton niveau d'études, mais la théorie de base des fractales est accessible à un étudiant; à condition qu'il lise des bouquins de maths sur le sujet, pas des articles de vulgarisation floue. Donc il est tout à fait possible que tu comprennes vraiment de quoi on parle, ou au moins que tu puisses apprendre les mathématiques nécessaires (essentiellement celles du lycée en classe scientifique plus un petit complément).
Mais que tu en sois à penser que la longueur d'une table pourrait dépendre de l'échelle utilisée m'inquiète fortement. Tu sembles avoir mélangé pas mal de choses.

Tu peux savoir vraiment de quoi on parle quand on utilise le mot "fractale" en lisant Wikipédia, et note que contrairement à l'habitude, il n'y a pas de définition des fractales, seulement des "caractéristiques", dont une au moins est vraie. Et que ces caractéristiques n'ont pas de sens en physique (même si des exemples trompeurs, poumon (**), par exemple, sont écrits). Il te faudra bien évidemment des lectures mathématiques complémentaires.

Cordialement.

(*) mais joue fortement sur les éventuelles erreurs de mesure.
(**) le volume du poumon est parfaitement connu, et même l'aire de sa surface d'échange avec l'air extérieur.