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Intégrale de Dirichlet et précision




  1. #1
    sleinininono

    Intégrale de Dirichlet et précision

    Bonsoir,

    pourriez vous me préciser un détail. J'essaye de montrer que l'intégrale définie ci-dessous existe. ( où j est un réel quelconque )


    Comme les deux variables sont indépendantes, il me faut simplement démontrer que


    et si j'ai bien compris, il faut faire une intégration par partie. Mais je ne comprends pas pourquoi l'intégrale de cos sur x^2 est bornée. Pourrait-on m'éclairer ?


    merci!
    bonne soirée

    -----


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  3. #2
    Resartus

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Bonjour,
    Non l'intégrale de cos(x)/x^2 n'est PAS bornée.
    Mais pourquoi essayer de faire une intégration par parties? Il suffit de montrer que sin(x)/x reste borné quand x tend vers zero
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    gg0

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Bonjour.

    Ta fonction se prolonge par continuité, il n'y a aucun problème d'intégrabilité.


  5. #4
    sleinininono

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Comment ça ?

  6. #5
    gg0

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Début du cours sur les intégrales généralisées : Si f se prolonge par continuité à la borne d'un intervalle, on la remplace par son prolongement. C'est dans tous les cours sur le sujet.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    sleinininono

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Je suis désolé je suis pas sûr de saisir le propos. J'ai déjà eu affaire avec cette fonction et à chaque fois j'en ressors avec une mauvaise vague idée de ce qu'il faut faire...

    Est ce que vous pouvez m'expliquer svp comment traiter la question et pourquoi vous dites que cos x / x^2 nest pas bornée alors que c'est souvent l'argument affiché ? (et est ce que alors si c'est pas un argument, on peut trouver un autre argument pour que par IPP on trouve quelque chose)

  9. #7
    albanxiii

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    pourquoi vous dites que cos x / x^2 nest pas bornée
    Si l'intervalle considéré contient 0, alors non, ça n'est pas borné. À quoi est-ce équivalent en 0 ?

    Par contre, sin(x)/x est équivalent à x/x au voisinage de 0 et est continue ailleurs donc .... (à vous de recoller les morceaux pour en faire un argument).
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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  11. #8
    Resartus

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Bonjour,
    Je crois comprendre d'où vient le malentendu :

    On t'a répondu pour d'éventuels problèmes en 0 (la fonction prolongée par continuité est finie, donc pas de problème), alors que tu te préoccupais de l'existence d'une limite quand j tend vers l'infini.

    Effectivement, il y a une difficulté. Il y a un certain nombre de critères de convergence pour les séries alternées qui sont étudiés en cours (abel, etc.) mais je crois comprendre qu'on te demande ici de le démontrer à la main.
    Et on peut en effet passer par une intégration par parties. On peut s'apercevoir que la norme de cos(x)/x^2 est majorable (très brutalement, mais c'est suffisant ici) par 1/x^2, dont la primitive -1/x tend bien vers zero quand x tend vers l'infini
    Dernière modification par Resartus ; 27/05/2018 à 08h30.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  12. #9
    gg0

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Effectivement, si c'est pour faire tendre j vers l'infini, l'intégration par parties va servir (ailleurs qu'au voisinage de 0); mais il aurait fallu le dire ! Dans le message initial, on intègre sur un intervalle borné.
    On peut aussi noter qu'on peut passer par une série alternée vérifiant le "critère spécial" en montrant que l'intégrale et les sommes partielles ont la même limite.

    Cordialement.

  13. #10
    sleinininono

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    ahhhh d'accord je comprends mieux. Donc si je veux montrer que l'intégrale existe même quand j tend vers plus infinie, il me suffit de dire que sur un compact centré en 0 l'intégrale existe pcq en 0 la fonction est prolongeable par continuité, puis quand on sort de ce compact, j'utilise l'argument avec l'intégration par partie?

    auriez vous une autre idée de façon de procéder ?
    Notamment j'ai pas compris la phrase de gg0 :

    "On peut aussi noter qu'on peut passer par une série alternée vérifiant le "critère spécial" en montrant que l'intégrale et les sommes partielles ont la même limite."

  14. #11
    gg0

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    L'intégrale existe pour tout j, donc aussi lorsque j tend vers l'infini. Maintenant, la question est peut être (mais tu ne l'as jamais dit !) de montrer que l'intégrale généralisée (sur R), existe, ou bien qu'on peut passer à la limite dans ce calcul et obtenir un nombre fini.

    Mais vu que tu n'as jamais dit autre chose que "l'intégrale (sur [-j,j]) existe-t-elle", je me demande si tu sais même ce que tu veux !! j'ai l'impression que tu as lu vaguement un texte mathématique sans trop savoir de quoi il parle !!

    Pourrais-tu, par politesse, nous dire de quoi il s'agit ?

  15. #12
    sleinininono

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    oui il s'agit bien de cela. On veut savoir si le passage à la limite de l'intégrale existe bien.
    Ainsi ma question portait sur les étapes de la réponse à cette question. Il me semblait important de bien comprendre d'abord le cas fini pour ensuite pouvoir démontrer au cas généralisé j = inf

  16. #13
    gg0

    Re : Intégrale de Dirichlet et précision

    Ok.

    Le problème en 0 se résout immédiatement, donc toutes tes intégrales simples existent.
    Pour l'intégrale généralisée, tu peux utiliser le changement de variable dont tu parlais, ou la suite

    montrer qu'elle converge (décomposer par intervalles, série alterné) et comparer
    avec pour quand j tend vers l'infini.
    C'est bien sûr plus lourd, mais on comprend pourquoi l'intégrale converge.

    Cordialement.

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