théorème de dirichlet

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai une question sur le théorème de dirichlet:
on prend g(x)=x² et g(pi)=0, g impaire de période 2pi
1)Tracer le graphe sur [-2pi,2pi]: ca c'est bon

2)Montrer que la série de fourier de f converge vers f
on vérifie les hypothèse de dirichlet : f est continue sur ]0,pi[ f(0+)=0 et f(pi-)=0, de même pour f' donc f est C¹ par morceaux sur [-2pi,2pi]
est bon?
puis on conclut

il faut montrer que ca converge vers f donc il faut vérifier la continuité en 0 et en pi
mais en pi la fonction est discontinue?
d'autre part est ce obligé de faire en -pi ou bien l'imparité suffit à éliminer ce cas?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Attention ! On a en fait : donc, par imparité : et par -périodicité : .

La fonction est discontinue en , mais satisfait les conditions de Dirichlet : .

L'imparité évite effectivement de recommencer le calcul en .

[invite371ae0af]

mais comment savoir si la fonction est C1 dans ce cas? car dirichlet ne suffit pas pour dire que la fonction converge vers f

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si tu étudies correctement la fonction g : elle est de classe C¹ par morceaux, mais pas de classe C¹ ; cela suffit pour assurer que la série de Fourier de g converge simplement sur R vers la régularisée de g.

Par chance, la valeur de g aux points de discontinuité est choisie pour que g soit sa propre régularisée : la série de Fourier converge simplement sur R vers g.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

d'accord j'ai compris
merci