série de fourier ou pas?

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai savoir comment reconnaitre qu'une fonction trigonométrique est déjà une série de fourier

par exemple f(x)=cosx
quel est son dévellopement en série de fourier? dans la correction on dit qu'elle est déjà sous la forme d'une série de fourier
comment sait on cela?

d'autre part, n'est pas une séire de fourier car n'est pas convergente
ne faut-il pas faire la même chose avec 'exemple précédent: diverge?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,


En détaillant, le développement en série de Fourier est :



La série à envisager pour comparer avec pour le cas de est donc la série : qui est convergente.

Pour reconnaître une série de Fourier, il n'y a qu'un moyen : prouver que les et les qui interviennent dans cette série sont bien les coefficients de Fourier donnés par les formules usuelles avec les intégrales.

[invite371ae0af]

il n'y a quelque chose que je n'ai pas compris:
la série serait une série de fourier?

d'autre part, pourquoi dit on cela:
pour qu'une fonction trigonométrique soit une série de fourier il faut que et converge
j'ai employer cette propriété avec pour la série avec le sinus

[invite57a1e779]

Il y a un truc à bien comprendre, c'est la distinction entre deux types de séries :

1. les séries trigonométriques dont le terme général est de la forme a_ncos(nx)+b_nsin(nx) : que peut-on dire de leur convergence ? de leur somme en cas de convergence ?

2. les séries de Fourier qui sont des séries particulières du type précédent : on est parti d'une fonction périodique f, et on a calculé les coefficients a_n et b_n à partir de f : on se pose les mêmes questions, mais on veut de plus à établir, en cas de convergence, un lien entre f et la somme de la série.

La série est une série trigonométrique du premier type dont on peut prouver qu'elle converge simplement sur R, qu'elle converge uniformément sur tout intervalle ne contenant pas de multiple de ...

Par contre, les séries de Fourier, du fait de leur lien avec la fonction f initialement donnée, ont des propriétés particulières dus à la structure hilbertienne (au sens L²) de l'espace dans lequel on travaille : l'inégalité de Bessel assure la convergence des séries et . Cela permet de discriminer certaines séries du type 1 comme n'étant pas du type 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

d'accord merci