bonjour,
j'aimerai savoir quel est l'intérêt de ce théorème pour les série de fourier. De plus, c'est la série de fourier qui converge vers ((f(x+)+f(x-))/2?
A quoi sert le théorème de dirichlet (on peut toujours calculer la série de fourier sans ca?) et quel est la différence avec celui ci/
f est C1 et 2pi périodique donc la série de fourier converge vers f.
A quoi cela sert-il que la série de fourier converge vers f ou ((f(x+)+f(x-))/2?
merci de votre aide
Bonjour,
Quel est, pour toi, l'énoncé précis du théorème de Dirichlet ?
soit f une fonction périodique
si f est C1 par morceaux sur une période alors f converge vers ((f(x+)+f(x-))/2
Le problème de la série de Fourier est le suivant :
On part d'une fonction f périodique (je considère uniquement la période).
On définit sa série de Fourier à partir des coefficients an et bn.
Plusieurs questions se posent :
La série obtenue converge-t-elle, et pour quel type de convergence : simple ? uniforme ? quadratique ?
Dans le cas où la série converge, quelle est la somme de la série ?
On dispose de quelques résultats immédiats du genre : le terme général ancos(nx)+bnsin(nx) de la série de Fourier est continu sur R donc, si la convergence de la série est uniforme sur R, la somme de la série est une fonction continue sur R. Par contraposition, si l'on part d'une fonction f discontinue, on ne peut pas espérer la convergence uniforme de la série vers f (ce qui ne veut pas dire que la série ne converge pas uniformément, mais avec une somme g autre que f).
Le théorème de Dirichlet permet de savoir a priori que, pour une fonction de classe C1 par morceaux, la série de Fourier converge simplement sur R, de somme la régularisée de f : g(x)=(f(x+)+f(x-))/2.
Lorsque l'on n'est pas dans le cadre de ce théorème, on est obligé d'étudier au coup par coup la convergence de la série de Fourier, ou bien d'utiliser des théorèmes plus fins.
Si on rajoute l'hypothèse que f est continue (en particulier si f est de classe C1), alors la régularisée g de f est f elle-même, donc la série de Fourier converge simplement sur R vers f, et on dispose même d'un théorème qui nous dit que la convergence est alors normale sur R.
c'est bon j'ai compris
merci pour ton aide
