Bonsoir à tous,
Je ne comprends pas pourquoi 1/(1+x^2) est intégrable sur R+, car par domination on peut majorer cette fonction par 1/x^2 mais cette fonction n'est pas intégrable en 0...
C'est sûrement une erreur de compréhension de ma part, mais si vous pouviez m'éclaircir (comme souvent),ça m'aiderait beaucoup !
Ps : j'avais pensé à procéder par dès équivalence, en posant : pour x=0 ma fonction est intégrable et pour x~+infini la fonction tend vers 0 donc intégrable.
Je viens de m'apercevoir que La primitive de cette intégrale était arctanx mais sans la calculer comment pouvait t'on prouver que cette intégrale était intégrable ?
Sur [0,1], ta fonction est entre 0 et 1, donc intégrable sur [0,1] , et entre 1 et +oo, ta fonction est entre 0 et 1/x², donc intégrable sur [1,+oo[
Donc ta fonction est intégrable sur R+
1) Si des intégrales définies de f (x) sur [a, b] existent, on dit que f (x) est intégrable sur [a, b]. C'est-à-dire que f (x) est une fonction intégrable sur [a, b].
Le jugement intégrable de la fonction:
Théorème 1: Soit f (x) continu sur l'intervalle [a, b], alors f (x) est intégrable sur [a, b].
Théorème 2: Soit f (x) borné sur l'intervalle [a, b] et il n'y a qu'un nombre fini de discontinuités du premier type, alors f (x) est intégrable sur [a, b].
Théorème 3: Soit f (x) une borne monotone sur l'intervalle [a, b], alors f (x) est intégrable sur [a, b].
Donc，puisque f (x)= 1/(1+x^2) est continu sur R+, il est intégrable.
2) On suppose x=tan(t), et puis,∫1/(1+x^2)dx=∫[sec(t)]^(-2)d(tant)=∫dt=t+c=arctanx+C
On peut le memoriser simplement.
Petite remarque sur ce qu'a dit Fei CHEN.
Il faut que la fonction soit continue sur un ensemble borné! Donc le théorème ne s'applique pas comme tu voudrais.
Par exemple la fonction identité n'est pas intégrable sur R+, bien qu'étant continue.
Cordialement
Merci à vous trois pour vos explications, c'est bien plus clair pour moi à présent.
Tres bonne soirée et bon week-end !
