Bonjour tout le monde,
Je pars sur une grille de dimension N.
Parmi cette grille, à T=0, j'ai X case(s) "infectée(s)" répartie(s) de façon aléatoire.
A chaque tour T une case "infecte" les cases adjacentes qui ne le sont pas.
J'aimerais la fonction qui pour un X donné dans une grille de dimension N me donne au tour T le nombre moyen de case infectées. (en fonction de toutes les combinaisons possibles à T=0)
Cette fonction devrait donner une courbe de gauss.
Merci d'avance
bonjour,
tu veux parler d'une grille de dimension 2 et de taille NxN ou bien de Z^N ?
si X=1 le nombre de cases infectées au pas T ne dépend pas de la position de la case infectée au pas 0, du moins en négligeant ce qui se passe au bord de la grille si elle st finie. Du coup je ne m'attends pas à ce que la distribution de ce nombre ressemble à une loi normale
Salut,
Bienvenue sur Futura.
La règle est assez simple. Malgré tout, je doute que ce soit simple à calculer. Est-ce qu'une estimation numérique conviendrait ?
Auquel cas une simulation sur ordi en fonction de p (probabilité initiale d'infection d'une case) et N donnerait facilement de bons résultats (et assez rapidement même avec un simple PC, à condition de se limiter à N pas trop grand).
Il peut même arriver qu'on "devine" la loi en voyant les données (et là il faut voir si on s'en contente ou si on veut démontrer la véracité de la loi, là, ça peut être archi coton : un exemple sympathique : la position du centre de gravité de l'ensemble de Mandelbrot : http://www.pi314.net/ref/CertitudesSansDemo.pdf ).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Un courbe en fct de quel paramètre.?Envoyé par Pommeh
On peut imaginer prendre X/N ou plutôt X/N² et effectivement faire des simulations numériques.
Et au pif, je ne suis pas du tout sur que cela soit "gaussien".
minushabens : de taille NxN, désolé si mes termes sont inexactes
Pour être un peu plus précis X n'est pas aléatoire. Je donne X et je donne N c'est la répartition de ce X dans la grille qui est aléatoire le nombre de combinaisons possibles étant X parmi NxN.
La courbe aurait donc en abscisse T (le nombre de tour) et en ordonnée le nombre de nouvelles cases infectés (Et ce nombre serait la moyenne (je suppose) de ce qui se passe pour chacune des combinaisons à chaque tour).
Une simulation sur ordinateur me donnerai des résultats en effet, mais je dois intégré ceci dans un modèle mathématique c'est pourquoi je cherche une formule générale
ansset & Deedee81 : Je viens de comprendre ce que pourrait m'apporter des simulations sur ordinateur, j'essaierai ce soir, merci pour vos idées !
dans tes simulations il faut que tu décides ce que tu fais aux bords de la grille. Souvent on utilise les "conventions de tore", c'est-à-dire que quand le processus s'échappe par le haut de la grille il rentre par le bas, et pareil pour la gauche et la droite.
je n'avais pas compris que dans son énoncé, le process pouvait "s'échapper" par les bords. ( à l'instar de vieux jeux vidéo )
cela me semble déjà complexe comme cela, d'autant que le nb combinaisons possibles est intrinsèquement très grand
par exemple pour un carré de 10*10 et 5 "virus" initiaux on a qcq chose de l'ordre de 7,5 10^7 combinaisons possibles.
quel nb de combinaisons "aléatoires" faut il pour avoir un reflet statistique pertinent ?
Pour une simulation numérique, ne fut-ce que pour avoir une idée du résultat, un échantillon suffit.
Pour une réponse mathématique démontrée, oui, c'est je pense très compliqué
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je ne sais pas pourquoi mais ça me fait penser aux questions théoriques sur le mouvement brownien sur une grille.
Les questions sont parfois très simples. Les réponses peuvent être épouvantablement compliquées à trouver (et certains problèmes sont encore ouverts, surtout ceux concernant les auto-intersections).
C'est un peu intuitif (donc méfiance) mais la question de ce fil me semble du même ordre de complexité mathématique.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
sachant que suis assez nul en stat théorique, ma question portait sur la taille de l'échantillon nécessaire / nb de combinaisons.
je ne pense pas qu'avec 10 essais de répartitions initiales ( j'exagère ) cela soit suffisant.
ps: à ne pas confondre avec les sondages qui s'appuient sur des échantillons "représentatifs" , à moins que cela soit de ça dont tu parles .
dans ce cas comment les déterminer ?
Cette affaire évoque un peu la théorie de la percolation, sauf que dans cette dernière le passage d'une case à la case contiguë est possible ou pas avec une certaine probabilité, alors que là c'est déterministe, et tout l'alea est dans le tirage initial. Ca reste quand-même un processus markovien. Je chercherais de la littérature sur la question avec les mots-clés : epidemic process on a network.
oui sur les deux points.
et mes remarques sont clairement des ¨?
su tu peux nous apporter un éclairage, ce serait avec plaisir.
Cdt
Je suis en train de me dire qu'on peut, peut-être, le calculer de façon assez "simple" :
- puisque la contamination des cas voisines est systématique, on peut aisément calculer à partir d'une case infectée le nombre de cases infectées au cours du temps
- pour plusieurs cases infectées, à partir d'un moment il va y avoir des cases infectées communes, cela dépend de leur distance
On peut calculer les distances moyennes et écarts types de ces distances pour une distribution aléatoire
A partir de là on peut certainement calculer ou du moins avoir une bonne estimation du nombre de cellules infectées au bout du temps T.
Un courageux pour calculer ça ?
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Pas si simple car les distances aux bords comptent beaucoup. ( si on suppose qu'il n'y a pas d'effet "Pac-Man" )
par exemple il faut 9 coups à un "virus" dans un coin pour contaminer un bloc de 9*9
il ne lui en faut que 5 s'il est placé en plein centre.
j'ai un doute sur le terme "adjacent' , car j'ai compter les cases avec un coin commun comme adjacentes.
Il faut en effet décider si une case est adjacente à 4 ou à 8 autres cases, et aussi si une case infectée au pas k cesse d'être infectée au pas k+1 (voire plus tard), ou bien si elle reste infectée à jamais.
