Théorème de monodromie locale

[invite90034748]

Bonjour,

Je voudrais connaître les applications du théorème de monodromie locale, qui dit que si X est une famille de variétés analytique au dessus du disque, avec une singularité isolée au dessus de 0, alors la monodromie est quasi-unipotente. J'ai lu une preuve ici mais je voudrais savoir dans quel cadre on peut l'appliquer, surtout pour étudier la topologie des variétés algébriques. Pour le moment j'ai surtout vu des applications arithmétiques que je n'ai pas compris (mais je serais aussi intéressé bien sûr !)

Merci d'avance !
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[invite90034748]

Je remonte au cas où un géomètre algébriste passerait par ici ... (-:

[AncMath]

Typiquement tu as les formule de picard-lefshetz qui te disent comment agit la monodromie : en "twistant" par des cycles evanescents. Mais ca n'est pas vraiment une application du théoreme de monodromie locale, meme si ca te donne des informations sur la fibre en 0, et en particulier sa cohomologie.
Globalement c'est un résultat que tu vas utiliser en étudiant la geométrie locale d'un pinceau de Lefshetz. Mais encore une fois, c'est plus les formules de Picard-Lefshetz qui sont simplement une version explicite du theoreme de monodomie locale.

Quand tu parles d'application arithmétique fait tu reference au théorème de monodromie locale l-adique (du à Grothendieck) ?

[invite90034748]

Merci de ta réponse ! Si je comprends bien, tu mentionne le fait que la cohomologie de la fibre singulière = cohomologie de la fibre lisse/cycles évanescents, et on qu'on peut calculer les cycles évanescents à partir de la formule de Picard-Lefschetz, c'est ça ? Donc si je comprends bien en pratique ça suffit d'avoir la formule de Picard-Lefschetz ?

Oui je parlais du théorème de monodromie locale l-adique !

En fait si tu connais quelques références je serais intéressé. Apparemment il y a un article d'Illusie mais je n'ai pas réussi à le trouver. J'ai utilisé les notes de Lamotke qui prouvait de manière élémentaire la formule de Picard-Lefschetz (mais pas de théorème de monodromie locale).

Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

Donc si je comprends bien en pratique ça suffit d'avoir la formule de Picard-Lefschetz ?

La formule de Picard-Lefschetz décrit explicitement la monodromie locale pour la singularité la plus simple (un point double ordinaire). C'est un bon exercice de comprendre pourquoi la monodromie locale donnée par la formule de Picard-Lefschetz est quasi-unipotente. Le théorème de monodromie locale est bien plus général puisqu'il s'applique à des singularités arbitraires.

Apparemment il y a un article d'Illusie mais je n'ai pas réussi à le trouver.

S'agit-il de l'exposé 1 de http://www.math.hawaii.edu/~pavel/cm..._p_Adiques.pdf ?

[invite90034748]

Merci des précisions 0577 ! Oui je crois que c'était celui ci, merci beaucoup. J'adore l'introduction : "Dans l'exposé I, Illusie [...], tournant autour du théorème de monodromie locale, ..."

[AncMath]

La formule de Picard-Lefschetz décrit explicitement la monodromie locale pour la singularité la plus simple (un point double ordinaire). C'est un bon exercice de comprendre pourquoi la monodromie locale donnée par la formule de Picard-Lefschetz est quasi-unipotente. Le théorème de monodromie locale est bien plus général puisqu'il s'applique à des singularités arbitraires.

Je dois avouer que je n'ai jamais vu de cas où on applique le théorème de monodromie locale à autre chose qu'une degenerescence de Lefshetz dans ce cas les formules de Picard-Lefshetz décrivent exactement ce qu'il se passe. Tu connais un cas où on regarde une singularité plus compliqué, ca m'interesserait de regarder ça?

[0577]

Bonjour,

Je dois avouer que je n'ai jamais vu de cas où on applique le théorème de monodromie locale à autre chose qu'une degenerescence de Lefshetz dans ce cas les formules de Picard-Lefshetz décrivent exactement ce qu'il se passe. Tu connais un cas où on regarde une singularité plus compliqué, ca m'interesserait de regarder ça?

Le théorème de monodromie locale est une partie de la théorie qui étudie la manière dont les variétés peuvent dégénérer. Dans certains cas, on cherche à contrôler au maximum les dégénérescences possibles et c'est en effet ce qu'on fait avec les pinceaux de Lefschetz. Mais dans d'autres, les dégénérescences possibles sont l'objet d'étude et elles peuvent être très loin d'un pinceau de Lefschetz. Par exemple, la fibre centrale peut avoir plusieurs composantes irréductibles. Un exemple: x_0 x_1 x_2 x_3 + t(x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4)=0, famille de surfaces quartiques dans l'espace projectif dégénrant pour t=0 en une union de quatre hyperplans.

[AncMath]

Ca n’était pas le sens de ma question.
Que l'on puisse avoir d'autres singularité sur une fibre que des points double ordinaires, c'est certain.
Ce que je voulais dire c'est que je n'ai jamais vu de formule explicite pour l'action de la monodromie pour d'autres types de singularité ni quoi que ce soit de précis de moins raffiné par exemple sur le indice d’unipotence de l'action de la monodromie dans le cas général.
Ou meme une autre question, dont j'ai honte de dire que je ne connais pas la réponse, est ce qu'on peut décrire la cohomologie évanescente de la fibre singulière en fonction de l'action de la monodromie e.g est ce que les générateur de la cohomologie évanescente sont conjugués par l'action de monodromie? Je sais le faire dans le cas d'une singularité de lefschetz, est ce vrai dans le cas général?

[0577]

Ca n’était pas le sens de ma question.
Ce que je voulais dire c'est que je n'ai jamais vu de formule explicite pour l'action de la monodromie pour d'autres types de singularité ni quoi que ce soit de précis de moins raffiné par exemple sur le indice d’unipotence de l'action de la monodromie dans le cas général.

Etant donné une famille explicite de variétés, on peut essayer de calculer explicitement sa monodromie (c'est par exemple possible pour l'exemple donné dans mon message précédent). L'intérêt du théorème de monodromie local est qu'il donne une information en général, bien qu'il n'y ait pas de formule "explicite" pour la monodromie en général. Une version fine du théorème de monodromie locale dit que l'indice d'unipotence de la monodromie agissant sur H^i est borné par i+1 (et une version encore plus fine donne la borne plus forte par le nombre de h^{p,q} non-nuls dans la décomposition de Hodge de H^i). Dans certains cas, l'indice d'unipotence a une interprétation géométrique. Par exemple, pour une famille de variétés de Calabi-Yau de dimension n, l'indice d'unipotence de la monodromie agissant sur H^n est égal à la dimension du complexe d'intersection dual d'une fibre spéciale à croisement normaux. Le cas d'indice d'unipotence maximal (égal à n+1) est particulièrement intéressant, et est par exemple le point de départ pour la symétrie miroir.