Comparaison locale

[invitec1855b44]

Bonjour , je suis étudiant en prépa et durant mes révisions je me suis aperçu que j'avais un serieux problème avec les o(x).
Par exemple , comment se simplifient ou , ou encore ??
J'ai bien cherché à m'en sortir avec les définitions mais je n'y arrive pas. Si pouviez éclairer ma lanterne, je vous en serais reconnaissant.
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[invite34b13e1b]

o(x+x²)=o(x²)

[invite6f25a1fe]

o(x+x²)=o(x²)

Non, ca dépend du point qu'on regarde. ce que tu as écrit est vrai pour x vers l'infini.

Par contre, en 0, on aura plutot o(x²+x)=o(x) (enfin, il me semble)

Sinon, pour les autres, je dirais que pour x vers l'infini, on a : et

[invitec1855b44]

Ok merci mais comment prouves tu ceci ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

heu...par intuition

Pour une démonstration, on n'a pas trop le choix. Il faut utiliser les définitions : soit celle avec les quantificateurs et tout le tralala, soit celle ou on dit que si alors

Montrons que
Pour toutes fonctions f négligeables devant x^p, et g devant x^n, on aura : et

Ainsi on a .
donc le tout tent bien vers 0 vu que les 2 termes du produit tendent vers 0. On a donc montré la propriété.

Si je ne me trompe ca, cette démonstration devrait être indépendant du point d'application, c'est-à-dire que la formule est censé être toujours vrai (si quelqu'un pouvait confirmer, ca serait bien quand même)

Même genre de démonstration pour les autres formules

[invite6f25a1fe]

Sinon, chose que je n'ai pas précisé, on devrait avoir pour x vers 0 la formule : et non pas max(n,p) comme lorsque x tend vers l'infini.

On le voit bien en faisant la démonstration.

[invitec1855b44]

Ok merci beaucoup c'est plus clair dans mon esprit maintenant.
Et si j'ai bien compris on a donc (pour généraliser) et ?