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Dualité de Verdier




  1. #1
    invite90034748

    Dualité de Verdier

    Bonjour, j'ai beaucoup de questions sur le foncteur , indispensable pour la dualité de Verdier.

    Soit X une variété algébrique complexe et M une variété algébrique complexe lisse qui contient X, tel que l'inclusion soit propre.

    Ginzburg dans ses notes de théorie géométrique des représentations définit un foncteur , en définissant juste les tiges par .

    Maintenant Ginzburg définit .

    Questions :

    0) Comme un faisceau ne peut pas être décrit juste par les tiges, est ce qu'il faut en déduire que est ouvert avec et est le sous-faisceau de constitué des sections à support dans X ?

    1) Si F est un faisceau localement constant, alors il me semble que et le foncteur n'est pas très intéressant. Je me trompe ?

    2) Est ce que je pourrais avoir un exemple concret de calcul de , par exemple si X est une sous espace linéaire de .

    3) Sauf erreur, on a pas besoin de prendre une résolution injective pour calculer dans ce cas ci. Comment alors vérifier que est le j-ième faisceau de cohomologie du complexe et un ouvert qui contient x ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    invite90034748

    Re : Dualité de Verdier

    Un petit up, merci d'avance

  4. #3
    0577

    Re : Dualité de Verdier

    Bonjour,

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message

    0) Comme un faisceau ne peut pas être décrit juste par les tiges, est ce qu'il faut en déduire que est ouvert avec et est le sous-faisceau de constitué des sections à support dans X ?
    Oui.

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    1) Si F est un faisceau localement constant, alors il me semble que et le foncteur n'est pas très intéressant. Je me trompe ?
    Non.


    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    2) Est ce que je pourrais avoir un exemple concret de calcul de , par exemple si X est une sous espace linéaire de .
    Voir 1), ou prendre F supporté sur X.

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    3) Sauf erreur, on a pas besoin de prendre une résolution injective pour calculer dans ce cas ci.
    Je ne comprends pas cette remarque.

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    Comment alors vérifier que est le j-ième faisceau de cohomologie du complexe et un ouvert qui contient x ?
    Tout dépend de la manière dont on a précédemment défini la cohomologie relative. Une manière de voir les choses: si I est un faisceau injectif, alors la restriction I(U_x) -> I(U_x - U_x \cap X) est surjective (un faisceau injectif est flasque) et le noyau est exactement donné par les sections de I(U_x) supportées sur U_x \cap X. Passant à la cohomologie, on obtient une suite exacte longue qu'on peut reconnaître comme étant la suite exacte longue comparant la cohomologie de U_x relative à U_x - U_x \cap X avec les cohomologies de U_x et U_x \cap X.
    Dernière modification par 0577 ; 21/07/2018 à 16h43.


  5. #4
    invite90034748

    Re : Dualité de Verdier

    Bonjour, merci beaucoup des remarques.

    J'ai toujours des problèmes pour 1) : Si i^!F = 0 pour F localement constant, alors on devrait aussi avoir i^!F[k] pour k un entier et F localement constant et alors on aurait D_X = 0. Où est l'erreur ? Et comment calculer i^!F du coup pour par exemple le faisceau constant Z ?

    Désolé d'insister et merci des explications.

  6. #5
    0577

    Re : Dualité de Verdier

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    Bonjour, merci beaucoup des remarques.
    Si i^!F = 0 pour F localement constant, alors on devrait aussi avoir i^!F[k] pour k un entier et F localement constant et alors on aurait D_X = 0. Où est l'erreur ?
    D_X n'est pas calculé en utilisant i^! mais en utilisant le foncteur dérivé Ri^!

    Si X est lisse de dimension réelle n, on a D_X=C[n], i.e. D_X est un complexe concentré en degré -n.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite90034748

    Re : Dualité de Verdier

    D'accord je comprends, je croyais que pour une inclusion fermé, i_* et i_! étaient exacts et donc qu'on avait pas besoin de remplacer C[n] par une résolution injective.

    Je vais relire calmement tout ça, merci beaucoup pour les explications encore.

  9. #7
    0577

    Re : Dualité de Verdier

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    D'accord je comprends, je croyais que pour une inclusion fermé, i_* et i_! étaient exacts et donc qu'on avait pas besoin de remplacer C[n] par une résolution injective.
    Pour une immersion fermée, on a en effet i_*=i_! exact mais il ne faut pas confondre i_! et i^!. Dans ce cas, i_! est exact mais i^! ne l'est pas (plus précisément, i^! est exact à gauche (car adjoint à droite de i_!), mais i^! n'est pas exact à droite en général, d'où la nécessité du foncteur dérivé Ri^!).
    Dernière modification par 0577 ; 22/07/2018 à 19h07.

  10. Publicité
  11. #8
    invite90034748

    Re : Dualité de Verdier

    Bien sûr c'est parfaitement clair maintenant !

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