Dualité de Verdier

[invite5357f325]

Bonjour, j'ai beaucoup de questions sur le foncteur , indispensable pour la dualité de Verdier.

Soit X une variété algébrique complexe et M une variété algébrique complexe lisse qui contient X, tel que l'inclusion soit propre.

Ginzburg dans ses notes de théorie géométrique des représentations définit un foncteur , en définissant juste les tiges par où .

Maintenant Ginzburg définit .

Questions :

0) Comme un faisceau ne peut pas être décrit juste par les tiges, est ce qu'il faut en déduire que où est ouvert avec et est le sous-faisceau de constitué des sections à support dans X ?

1) Si F est un faisceau localement constant, alors il me semble que et le foncteur n'est pas très intéressant. Je me trompe ?

2) Est ce que je pourrais avoir un exemple concret de calcul de , par exemple si X est une sous espace linéaire de .

3) Sauf erreur, on a pas besoin de prendre une résolution injective pour calculer dans ce cas ci. Comment alors vérifier que où est le j-ième faisceau de cohomologie du complexe et un ouvert qui contient x ?
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[invite5357f325]

Un petit up, merci d'avance

[0577]

Bonjour,

0) Comme un faisceau ne peut pas être décrit juste par les tiges, est ce qu'il faut en déduire que où est ouvert avec et est le sous-faisceau de constitué des sections à support dans X ?

Oui.

1) Si F est un faisceau localement constant, alors il me semble que et le foncteur n'est pas très intéressant. Je me trompe ?

Non.

2) Est ce que je pourrais avoir un exemple concret de calcul de , par exemple si X est une sous espace linéaire de .

Voir 1), ou prendre F supporté sur X.

3) Sauf erreur, on a pas besoin de prendre une résolution injective pour calculer dans ce cas ci.

Je ne comprends pas cette remarque.

Comment alors vérifier que où est le j-ième faisceau de cohomologie du complexe et un ouvert qui contient x ?

Tout dépend de la manière dont on a précédemment défini la cohomologie relative. Une manière de voir les choses: si I est un faisceau injectif, alors la restriction I(U_x) -> I(U_x - U_x \cap X) est surjective (un faisceau injectif est flasque) et le noyau est exactement donné par les sections de I(U_x) supportées sur U_x \cap X. Passant à la cohomologie, on obtient une suite exacte longue qu'on peut reconnaître comme étant la suite exacte longue comparant la cohomologie de U_x relative à U_x - U_x \cap X avec les cohomologies de U_x et U_x \cap X.

[invite5357f325]

Bonjour, merci beaucoup des remarques.

J'ai toujours des problèmes pour 1) : Si i^!F = 0 pour F localement constant, alors on devrait aussi avoir i^!F[k] pour k un entier et F localement constant et alors on aurait D_X = 0. Où est l'erreur ? Et comment calculer i^!F du coup pour par exemple le faisceau constant Z ?

Désolé d'insister et merci des explications.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour, merci beaucoup des remarques.
Si i^!F = 0 pour F localement constant, alors on devrait aussi avoir i^!F[k] pour k un entier et F localement constant et alors on aurait D_X = 0. Où est l'erreur ?

D_X n'est pas calculé en utilisant i^! mais en utilisant le foncteur dérivé Ri^!

Si X est lisse de dimension réelle n, on a D_X=C[n], i.e. D_X est un complexe concentré en degré -n.

[invite5357f325]

D'accord je comprends, je croyais que pour une inclusion fermé, i_* et i_! étaient exacts et donc qu'on avait pas besoin de remplacer C[n] par une résolution injective.

Je vais relire calmement tout ça, merci beaucoup pour les explications encore.

[0577]

D'accord je comprends, je croyais que pour une inclusion fermé, i_* et i_! étaient exacts et donc qu'on avait pas besoin de remplacer C[n] par une résolution injective.

Pour une immersion fermée, on a en effet i_*=i_! exact mais il ne faut pas confondre i_! et i^!. Dans ce cas, i_! est exact mais i^! ne l'est pas (plus précisément, i^! est exact à gauche (car adjoint à droite de i_!), mais i^! n'est pas exact à droite en général, d'où la nécessité du foncteur dérivé Ri^!).

[invite5357f325]

Bien sûr c'est parfaitement clair maintenant !