Nullstellensatz projective et régularité

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Si je ne m'abuse, et d'après la Nullstellensatz projective, on a : , par la correspondance : avec un anneau gradué.
Par cette correspondance, est ce que est non singulière ( i.e : lisse ) si et seulement si est un anneau gradué régulier ?
On peut remarquer que : est non singulière, et est un anneau régulier.
Si oui, et si est un idéal homogène de l'anneau des polynômes homogènes , sous quelles conditions, sur l'idéal , l'anneau quotient est un anneau régulier ?
D'après le lien wiki suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau..._r%C3%A9gulier , on trouve que :
Si est un anneau local noethérien régulier, et si : est un idéal propre de . Alors est régulier si et seulement si est engendré par une partie d'un système de paramètres régulier de .
Or, ici, pour notre cas, n'est pas un anneau local, ce qui implique qu'on ne peut pas appliquer cette proposition à notre cas de l'anneau quotient : . Quelle est alors la solution ? Comment répondre à mes questions dans ce cas là ?

Merci d'avance à vous tous.
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[Anonyme007]

Pour la première question, je sais maintenant y répondre :

Bonjour à tous,

Si je ne m'abuse, et d'après la Nullstellensatz projective, on a : , par la correspondance : avec un anneau gradué.
Par cette correspondance, est ce que est non singulière ( i.e : lisse ) si et seulement si est un anneau gradué régulier ?
On peut remarquer que : est non singulière, et est un anneau régulier.

D'après le lien wiki suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_ring , ''an affine variety is nonsingular (that is every point is regular) if and only if its ring of regular functions is regular''. Par conséquent, est non singulière si et seulement si : est régulier.

Qu'en est -t-il maintenant pour la deuxième question ? Pouvez vous m'aider pour cette question svp ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

S'il vous plaît, je me rends compte à l'instant qu'il y'a quelques erreurs dans ce que je raconte :

n'a pas besoin d’être local pour vérifier s'il est régulier, car d'après la page wiki plus haut, un anneau commutatif noethérien est régulier s'il est localement un anneau local régulier. Autrement dit, un anneau commutatif noethérien est régulier si pour tout idéal premier , on a : est un anneau local régulier.

Alors, je rectifie maintenant ma question, on cherche les conditions pour lesquelles un idéal gradué quelconque : doit satisfaire pour que l'anneau commutatif noethérien : soit un anneau régulier.
est un anneau régulier, si et seulement si pour tout irréductible ( i.e : pour tout un idéal premier de , on a : est un anneau local régulier.

Alors, ma question s'il vous plaît, est ce que vous pouvez me simplifier davantage l'expression de l'objet pour que ça devient plus facile et simple à manipuler ?.

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Alors, j'utiliserai le théorème qui dit :

Soient un anneau et une partie multiplicative de , et un idéal de .
Soit l'image de par la surjection canonique : .
Alors, , avec : le morphisme de localisation.

En appliquant ce théorème à l'anneau local : , on obtient :
.

N'est ce pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonjour,

Comment trouver, s'il vous plaît, un système de paramètres régulier de l'anneau local : avec : un idéal premier de ( i.e : est un polynôme irréductible ) ?

est l'anneau des polynômes homogènes en les indéterminées : .

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Sur un autre forum anglophone, voici la réponse que j'obtiens :

is regular if and only if the affine variety is smooth. When is homogeneous,a is a cone (with vertex at the origin). The only way for a cone to be smooth is if it's a linear subspace. So, for homogeneous , the ring is regular if and only if is generated by linear forms.

Alors ma question est :
Que signifie concrètement, que l'idéal homogène est engendré par des formes linéaires ?
et s'il n'est pas engendré par des formes linéaires, par quoi peut-t-il être engendré ?

Merci infiniment.