Métrique pseudo-Riemannienne parallèle

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Soit une variété pseudo-Riemannienne.
Soit la connexion de Levi-Cevita.
Par définition : est parallèle si et seulement si : .
Dans mon cours, on dit que est parallèle ( i.e : ) signifie que :

Pouvez vous m'expliquez pourquoi ? Je ne saisis pas d'où vient cette dernière formule.

Merci d'avance.
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[invite06459106]

En 1er lieu, je réponds pour faire un petit up, je n'ai aucune certitude quand à ma réponse, bref, je vais peut-être dire des conneries, et justement, c'est le but de ce post, être rectifié au cas ou..(très probable).

Sur ta variété M tu as plusieurs connexions (autant que symboles de Christoffel), et comme tu as aussi ta métrique g, tu peux "imposer" que la connexion soit compatible avec celle-ci, et là, on tombe sur les propriétés "requises" que tu énonces (les trois sont équivalentes), alors pourquoi? pour l'unicité, et cela exhibe la seule connexion symétrique sur M compatible avec g.
Pourquoi imposer la symétrie? Bah je sais pas, mais les connexions de Levi-Civita se comporte tout bien comme il faut vis à vis des isométries .

C'est ma vision du truc, ma pov' compréhension "d'étudiant" "autodidacte", donc, je le répète, certainement à coté de la plaque...
Merci d'avance pour les rectifs.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu.
Ce passage se trouve à la page : , du pdf suivant : https://www.math.u-psud.fr/~paulin/n...rs_georiem.pdf
Peux être que le problème sera plus parlant pour toi après avoir lu ce passage, et pourquoi pas m'aider.

Merci d'avance.

[invite06459106]

Peux être que le problème sera plus parlant pour toi après avoir lu ce passage, et pourquoi pas m'aider.
.

Merci pour le lien, je lirais ça dès que possible, quand à l'aide que je pourrais apporter, tu es trèèèès optimiste.
J'espère que d'autres te répondrons .

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Pouvez vous m'expliquez pourquoi ? Je ne saisis pas d'où vient cette dernière formule.

Merci d'avance.

l'écriture de la formule n'a aucun sens mathématique , elle s'écrit :

voir la connection de van der Waerden -Bortolotti ....par exemple le livre de M.M Postnikov Geomety VI riemannian geomety page 42

ne me demande pas pourquoi, le hobby a changé ....

[Anonyme007]

ne me demande pas pourquoi, le hobby a changé ....

l'écriture de la formule n'a aucun sens mathématique , elle s'écrit :

Ils ont fait alors une erreur dans le livre du lien que j'ai mis plus haut, sans qu'ils s'en rendent compte.

voir la connection de van der Waerden -Bortolotti ....par exemple le livre de M.M Postnikov Geomety VI riemannian geomety page 42

D'accord azizovsky, merci beaucoup.

[mach3]

Salut,

D'abord, il ne semble pas qu'il y ait d'erreur de notation, seulement une histoire de mode. Si on considère la dérivée directionnelle d'une fonction f suivant un vecteur X, on pourra noter : . Mais, en considérant les vecteurs comme des opérateurs de dérivée directionnelle, on notera directement : (Misner, Thorne et Wheeler utilisent beaucoup cette notation dans Gravitation).
Ensuite la dérivée covariante d'un scalaire suivant un vecteur X est égale à la dérivée directionnelle de ce scalaire suivant X (*) :
.

est un scalaire. Si je prend sa dérivée covariante, j'ai

Si g est un tenseur d'ordre deux quelconque, alors la dérivée covariante de se développe comme suit (*) :



Si , il vient naturellement :



* : points que j'ai admis et que je ne sais pas bien expliquer pour l'instant

m@ch3

[Anonyme007]

Maintenant, c'est clair.
Merci beaucoup mach3.