Correction livre fausse ?

**mehdi_128** · 16/09/2018, 15h45

Bonjour,

Je sollicite votre aide sur la correction de cet exercice dans mon livre, le point délicat étant le epsilon qui dépend de n. A t-on le droit de faire ça ?

Voyez vous une erreur dans le corrigé ?

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**mehdi_128** · 16/09/2018, 15h59

Vu que N dépend de epsilon ça voudrait dire que N dépend de n donc c'est faux non ?

Anonyme007 · 16/09/2018, 16h17

Bonjour,

Je trouve que il n'y'a pas d'erreurs dans la démonstration, parce que ici, on a :

$\exists N_2 \in \mathbb{N} \ \forall k \in \mathbb{N} \ : \ k \geq N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ \ell - \dfrac{1}{n} < \dfrac{ a_{k+1} - a_{k} }{ b_{k+1} - b_{k} } < \ell + \dfrac{1}{n}$ .

et non pas :

$\exists N_2 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n \geq N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ \ell - \dfrac{1}{n} < \dfrac{ a_{k+1} - a_{k} }{ b_{k+1} - b_{k} } < \ell + \dfrac{1}{n}$ .

Il y'a une différence, non ?

Donc, il n'y'a aucun problème que ici : $\epsilon$ dépend de : $n$ . Ce qu'il faut est qu'il ne dépend pas de $k$ , et dans cette écriture ci-dessus, il ne dépend pas de $k$ , donc, c'est bien.

Cordialement.

**gg0** · 16/09/2018, 16h54

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

Cordialement.

**mehdi_128** · 16/09/2018, 17h39

@Anonyme

Le problème survient après quand on somme jusqu'à n, il reste du $a_n$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 16/09/2018, 17h56

Envoyé par gg0

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

Cordialement.

Oui j'avais pensé au $n-1 \geq N$ soit la condition $n > N+1$
Par contre j'ai pas trop saisi, l'auteur somme de N à n-1 or N dépend de epsilon ça voudrait dire N dépend de n et donc que $a_N$ n'est plus constant comment passer à la limite ?
Je vous mets la suite pour avoir votre avis.

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Anonyme007 · 16/09/2018, 18h23

Envoyé par gg0

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

A mon humble avis, il n'y'a aucune erreur.
$n$ n'est pas une constante qui ne bouge pas ici, mais un entier fixé temporairement. Autrement dit, lorsque, par exemple, dans un exercice on nous demande de montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} \ : \ n^2 + n +1 \geq 0$ .
Alors, on commence la démonstration, par dire :
Soit $n \in \mathbb{N}$ :
Alors, $n^2 \geq 0$ et $n \geq 0$ .
Par conséquent : $n^2 + n + 1 \geq 1 \geq 0$
D'où : $\forall n \in \mathbb{N} \ : \ n^2 + n \geq 0$ .
Donc, lorsque on commence la démonstration par l'expression : Soit $n \in \mathbb{N}$ : ... etc, ça ne veut pas dire que : $n$ est une constante, mais : une variable fixé qui variera par la suite dans tout $\mathbb{N}$ . Donc, il n'y'a aucune erreur.
Quant à l'utilisation de : $n > N$ , ce n'est pas par définition de la limite, mais c'est parce que : $k$ varie de $0$ jusqu'à $n$ donc : $n \geq k$ , et que $k \geq N$ par définition de la limite ici, donc forcément : $n > N$ , et ceci est indépendant du fait de la définition de la limite. Donc, tout est dans l'ordre, et il n'y'a pas de quoi s’inquiéter.

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Anonyme007 · 16/09/2018, 18h45

Envoyé par mehdi_128

@Anonyme

Le problème survient après quand on somme jusqu'à n, il reste du $a_n$

Oui, mais ce n'est pas un problème puisque, après, le but du télescopage qu'on effectue est d'aboutir à :
$\exists N_2 \in \mathbb{N} \ \forall k \in \mathbb{N} \ : \ k \geq N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) < \dfrac{ a_{k+1} - a_{k} }{ b_{k+1} - b_{k} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$ .
et non à :
$\exists N_2 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n \geq N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) < \dfrac{ a_{k+1} - a_{k} }{ b_{k+1} - b_{k} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$ .
Dans la démo, on précise que : $n > N$ , non pas pour arriver à écrire :
$\exists N_2 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n \geq N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) < \dfrac{ a_{k+1} - a_{k} }{ b_{k+1} - b_{k} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$ .
mais pour pouvoir diviser un passage par $b_n$ , et ceci ne peut s'effectuer que si $n > N$ , et ceci est vrai puisque : $n > k > N$ . Donc, il n'y'a aucune erreur.

Rappelle toi qu'au début de la démonstration l'auteur précise que : .... par croissance : $k > N_1 \ \ \Longrightarrow \ \ b_k \geq b_{n_{1}} > 0$ , non ? et ben, ce passage est mentionné non pas pour rien, mais pour pouvoir diviser vers la fin de la démonstration, après télescopage, par $b_n$ , et ceci n'est possible que si $b_n > 0$ , n'est ce pas ? Souviens toi la définition d'un nombre rationnel : Un nombre $r$ est rationnel lorsqu'il se met sous la forme : $r = \dfrac{p}{q}$ avec : $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N} \backslash \{ 0 \}$ , par définition, c'est pourquoi dans ta démonstration, pour pouvoir diviser, il faut que : $b_n$ vérifie : $b_n > 0$ .

Cordialement.

**gg0** · 16/09/2018, 19h00

Oui, finalement, tu as raison, comme N dépend du choix initial de n, rien n'autorise à penser qu'il est inférieur à n. Tout le calcul de télescopage est à rejeter.

Bravo !

Anonyme007 · 16/09/2018, 19h05

Pardon, j'ai mal interprété un passage, mais tu n'as pas de quoi t’inquiéter. Le but à la fin est d'arriver à la conclusion : $\exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n > k > N \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$ ,
et ceci implique que : $\dfrac{a_{n}}{b_{n}} \to + \ell$ lorsque : $n \to + \infty$ .

**mehdi_128** · 16/09/2018, 19h21

Envoyé par Anonyme007

Pardon, j'ai mal interprété un passage, mais tu n'as pas de quoi t’inquiéter. Le but à la fin est d'arriver à la conclusion : $\exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n > k > N \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$ ,
et ceci implique que : $\dfrac{a_{n}}{b_{n}} \to + \ell$ lorsque : $n \to + \infty$ .

Oui mais N dépend de epsilon donc de n : $N=f(\epsilon)=f(n)$

Donc comment calculez vous la limite de : $\dfrac{b_N}{b_n}$ ? Puisque $b_N = f(n)$ ?

Anonyme007 · 16/09/2018, 19h43

Non, $N$ dépend de $k$ pas de $n$ , reprend la lecture de démonstration, on a :
$k > N_1 \ \ \Longrightarrow \ \ b_k \geq b_{N_{1}} > 0$
$k > N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) ( b_{k+1} - b_k ) < a_{k+1} - a_k < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( b_{k+1} - b_k )$
On prend : $N = \mathrm{max} ( N_1 , N_2 )$ , on aboutit à :
$\exists N \in \mathbb{N} \ \forall k \in \{ \ N , \dots , n-1 \ \} \ \ \mathrm{et} \ \ k \geq N \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$
Puisque : $n > k$ , ( car : $k$ parcourt de $N$ jusqu'à $n-1$ , et $k >N$ )
Alors :
$\exists N \in \mathbb{N} \ : \ n > k > N \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$

Attend, je vais terminer dans un instant, mais je vais aux toilettes d'abord. Je suis pressé.

Anonyme007 · 16/09/2018, 19h59

Envoyé par mehdi_128

Oui mais N dépend de epsilon donc de n : $N=f(\epsilon)=f(n)$

Donc comment calculez vous la limite de : $\dfrac{b_N}{b_n}$ ? Puisque $b_N = f(n)$ ?

Oui, tu as raison, je comprends où se trouve le hic maintenant.

Je vais y réfléchir. Je te tiendrai au courant dès que j'aurai une réponse.
A plus tard.

Anonyme007 · 16/09/2018, 20h51

Il me semble que j'ai raison lorsque j'ai dit :

Envoyé par Anonyme007

Non, $N$ dépend de $k$ pas de $n$ , reprend la lecture de démonstration, on a :
$k > N_1 \ \ \Longrightarrow \ \ b_k \geq b_{N_{1}} > 0$
$k > N_2 \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) ( b_{k+1} - b_k ) < a_{k+1} - a_k < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( b_{k+1} - b_k )$
On prend : $N = \mathrm{max} ( N_1 , N_2 )$ , on aboutit à :
$\exists N \in \mathbb{N} \ \forall k \in \{ \ N , \dots , n-1 \ \} \ \ \mathrm{et} \ \ k \geq N \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$
Puisque : $n > k$ , ( car : $k$ parcourt de $N$ jusqu'à $n-1$ , et $k >N$ )
Alors :
$\exists N \in \mathbb{N} \ : \ n > k > N \ \ \Longrightarrow \ \ ( \ell - \dfrac{1}{n} ) (1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}} < \dfrac{ a_{n} }{ b_{n} } < ( \ell + \dfrac{1}{n} ) ( 1 - \dfrac{b_{N}}{b_{n}} ) + \dfrac{a_{N}}{b_{n}}$

Je retire donc ce que j'ai écrit dans mon dernier poste.
A méditer pour comprendre.

Donc, $N = N(k)$ et non : $N = N(n)$ .

**gg0** · 16/09/2018, 20h59

Pablo,

arrête d'écrire et relis la définition de N. Et évite de tromper Mehdi par ton baratin.

Mehdi,
Pablo/anonyme007 traite sur ce forum de mathématique de haute volée mais ne comprend pas les maths de L1.

**mehdi_128** · 19/09/2018, 16h45

Envoyé par gg0

Pablo,

arrête d'écrire et relis la définition de N. Et évite de tromper Mehdi par ton baratin.

Mehdi,
Pablo/anonyme007 traite sur ce forum de mathématique de haute volée mais ne comprend pas les maths de L1.

Je pense que cet exo est tordu, à mon avis si un prof agrégé auteur d'un livre s'est peut être trompé c'est qu'il doit être difficile.

**gg0** · 19/09/2018, 16h56

Effectivement.

Tu peux regarder "théorème de Stolz", par exemple sur Wikipédia.

Cordialement.

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