Correction livre fausse ?

[mehdi_128]

Bonjour,

Je sollicite votre aide sur la correction de cet exercice dans mon livre, le point délicat étant le epsilon qui dépend de n. A t-on le droit de faire ça ?

Voyez vous une erreur dans le corrigé ?


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[mehdi_128]

Vu que N dépend de epsilon ça voudrait dire que N dépend de n donc c'est faux non ?

[Anonyme007]

Bonjour,

Je trouve que il n'y'a pas d'erreurs dans la démonstration, parce que ici, on a :

.

et non pas :

.

Il y'a une différence, non ?

Donc, il n'y'a aucun problème que ici : dépend de : . Ce qu'il faut est qu'il ne dépend pas de , et dans cette écriture ci-dessus, il ne dépend pas de , donc, c'est bien.

Cordialement.

[gg0]

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

@Anonyme

Le problème survient après quand on somme jusqu'à n, il reste du

[mehdi_128]

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

Cordialement.

Oui j'avais pensé au soit la condition
Par contre j'ai pas trop saisi, l'auteur somme de N à n-1 or N dépend de epsilon ça voudrait dire N dépend de n et donc que n'est plus constant comment passer à la limite ?
Je vous mets la suite pour avoir votre avis.

[Anonyme007]

Il y a un problème d'utilisation de la lettre n, qui est à la fois constante dans "Soit n\in \mathbb{N}^*" et variable dans la suite : "Comme, par hypothèse, la suite (d_n) converge ...". Mais comme ensuite les indices de suites sont des k, il n'y a pas de problème. De même, pour le télescopage, il est utilisé le fait que n>N, ce qui n'a pas été précisé.
Donc une preuve assez maladroitement rédigée. Et encore, on n'a que le début.

A mon humble avis, il n'y'a aucune erreur.
n'est pas une constante qui ne bouge pas ici, mais un entier fixé temporairement. Autrement dit, lorsque, par exemple, dans un exercice on nous demande de montrer que : .
Alors, on commence la démonstration, par dire :
Soit :
Alors, et .
Par conséquent :
D'où : .
Donc, lorsque on commence la démonstration par l'expression : Soit : ... etc, ça ne veut pas dire que : est une constante, mais : une variable fixé qui variera par la suite dans tout . Donc, il n'y'a aucune erreur.
Quant à l'utilisation de : , ce n'est pas par définition de la limite, mais c'est parce que : varie de jusqu'à donc : , et que par définition de la limite ici, donc forcément : , et ceci est indépendant du fait de la définition de la limite. Donc, tout est dans l'ordre, et il n'y'a pas de quoi s’inquiéter.

[Anonyme007]

@Anonyme

Le problème survient après quand on somme jusqu'à n, il reste du

Oui, mais ce n'est pas un problème puisque, après, le but du télescopage qu'on effectue est d'aboutir à :
.
et non à :
.
Dans la démo, on précise que : , non pas pour arriver à écrire :
.
mais pour pouvoir diviser un passage par , et ceci ne peut s'effectuer que si , et ceci est vrai puisque : . Donc, il n'y'a aucune erreur.

Rappelle toi qu'au début de la démonstration l'auteur précise que : .... par croissance : , non ? et ben, ce passage est mentionné non pas pour rien, mais pour pouvoir diviser vers la fin de la démonstration, après télescopage, par , et ceci n'est possible que si , n'est ce pas ? Souviens toi la définition d'un nombre rationnel : Un nombre est rationnel lorsqu'il se met sous la forme : avec : et , par définition, c'est pourquoi dans ta démonstration, pour pouvoir diviser, il faut que : vérifie : .

Cordialement.

[gg0]

Oui, finalement, tu as raison, comme N dépend du choix initial de n, rien n'autorise à penser qu'il est inférieur à n. Tout le calcul de télescopage est à rejeter.

Bravo !

[Anonyme007]

Pardon, j'ai mal interprété un passage, mais tu n'as pas de quoi t’inquiéter. Le but à la fin est d'arriver à la conclusion : ,
et ceci implique que : lorsque : .

[mehdi_128]

Pardon, j'ai mal interprété un passage, mais tu n'as pas de quoi t’inquiéter. Le but à la fin est d'arriver à la conclusion : ,
et ceci implique que : lorsque : .

Oui mais N dépend de epsilon donc de n :

Donc comment calculez vous la limite de : ? Puisque ?

[Anonyme007]

Non, dépend de pas de , reprend la lecture de démonstration, on a :


On prend : , on aboutit à :

Puisque : , ( car : parcourt de jusqu'à , et )
Alors :


Attend, je vais terminer dans un instant, mais je vais aux toilettes d'abord. Je suis pressé.

[Anonyme007]

Oui mais N dépend de epsilon donc de n :

Donc comment calculez vous la limite de : ? Puisque ?

Oui, tu as raison, je comprends où se trouve le hic maintenant.
Je vais y réfléchir. Je te tiendrai au courant dès que j'aurai une réponse.
A plus tard.

[Anonyme007]

Il me semble que j'ai raison lorsque j'ai dit :

Non, dépend de pas de , reprend la lecture de démonstration, on a :


On prend : , on aboutit à :

Puisque : , ( car : parcourt de jusqu'à , et )
Alors :

Je retire donc ce que j'ai écrit dans mon dernier poste.
A méditer pour comprendre.
Donc, et non : .

[gg0]

Pablo,

arrête d'écrire et relis la définition de N. Et évite de tromper Mehdi par ton baratin.

Mehdi,
Pablo/anonyme007 traite sur ce forum de mathématique de haute volée mais ne comprend pas les maths de L1.

[mehdi_128]

Pablo,

arrête d'écrire et relis la définition de N. Et évite de tromper Mehdi par ton baratin.

Mehdi,
Pablo/anonyme007 traite sur ce forum de mathématique de haute volée mais ne comprend pas les maths de L1.

Je pense que cet exo est tordu, à mon avis si un prof agrégé auteur d'un livre s'est peut être trompé c'est qu'il doit être difficile.

[gg0]

Effectivement.

Tu peux regarder "théorème de Stolz", par exemple sur Wikipédia.

Cordialement.