linéarisation de sin puissance n

[invite06ca88e4]

salut tout le monde
pouvez vous me démontrer comment on peut arriver à ces deux expressions , sachant que j ai commence avec la méthode d EULER mais je n arrive pas à trouver ces deux expressions
merci d avance
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[invitedd63ac7a]

Je suppose que vous avez fait :

Vous avez appliqué au second membre le binôme de Newton pour un indice k variant de 0 à n.
On suppose d'abord n pair.
Remarquez d'abord cette propriété des coefficients binomiaux

pour k variant de 0 à n les valeurs sont symétriques par rapports n/2, comprenez ce que je dit !

Coupez la somme développée avec le binôme de Newton en deux parties, l'une pour k variant de 0 à n/2-1, l'autre pour k variant de n/2+1.
Dans cette dernière faire le changement d'indice j=n-k. Appliquer la remarque faite plus haut sur les coefficients binomiaux.
Ajouter les deux sommes judicieusement.
Il reste le terme correspondant à k=n/2, voyez quoi en faire, concluez, puis faites pour n impair.

[invite06ca88e4]

salut
mais _1 puissance k on peut pas la simplifier puisque k peut être pair comme il peut être impair

[invitedd63ac7a]

Je ne sais pas trop où vous êtes dans le calcul de sorte que je ne peux vous répondre avec certitude.

[A voir en vidéo sur Futura]